期权定价模型.docx

《期权定价模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《期权定价模型.docx（14页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、采用期权定价模型对期权进行动态分析Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型的假设条件Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：1.期权标的资产为一风险资产（Black-Sholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循儿何布朗运动，即dS =dt + dz其中，dS为股票价格瞬时变化值，力为极短瞬间的时间变化值，dz为均值为零，方差为力的无穷小的随机变化值（dz = t,称为标准布朗运动，代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为L0的正态分布）中取的一个随机值）,为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），。则是股票价

2、格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。和。都是已知的。简洁地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化被称为漂移率，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即。立,可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。2 .在期权有效期内，标的资产没有现金收益支付。综合1和2,意味着标的资产价格的变动是连续而匀称的，不存在突然的跳动。3 .没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。综合2和3,意味着投资者的收益仅来源于价格的变动，而没有其他影响因素。4 .该标的资产可以被自由地买卖，即允许

3、卖空，且全部证券都是完全可分的。5 .在期权有效期内，无风险利率为常数，投资者可以此利率无限制地进行借贷。6 .期权为欧式看涨期权，其执行价格为X,当前时刻为，到期时刻为7。7 .不存在无风险套利机会。Black-Scholes期权定价模型（一）Black-Scholes期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的一个微分方程：或+6更吨t S 2S2其中f为期权价格，其他参数符号的意义同前。通过解这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：其中,c = SN(d) XeFTfN(d?)(2

4、)ln(SX) + (r + b22)(T)er yT td2=4 -4-tln(5X) + (r-2 2)(T-r)yT-tc为无收益资产欧式看涨期权价格；N (x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，依据标准正态分布函数特性，我们有N(-x) = 1-7V(x)o()Black-Scholes期权定价公式的理解1 .期权价格的影响因素首先，让我们将Black-Scholes期权定价公式与期权价格的影响因素联系起来。我们得知期权价格的影响因素包括：标的资产市场价格、执行价格、波动率、无风险利率、到期时间和现金收益。在式(2)中，除了由于我们假设标的资产无现金收益之

5、外，其他几个参数都包括在内，且影响方向与前文分析的全都。2 .风险中性定价原理其次我们要谈到一个对于衍生产品定价特别重要的原理：风险中性定价原理。观看式(2),以及期权价格影响因素分析，我们可以留意到期权价格是与标的资产的预期收益率无关的。这对于寻求期权定价的人们来说无疑是一个很大的好消息。由于迄今为止，人们仍旧没有找到计算证券预期收益率的确定方法。期权价格与4的无关性，明显大大降低了期权定价的难度和不确定性。进一步考虑，受制于主观风险收益偏好的标的证券预期收益率/并未包括在期权的价值打算公式中，公式中消失的变量为标的证券当前市价(S)、执行价格(X)、时间(t)、证券价格的波动率(。)和无风

6、险利率r,它们全都是客观变量，独立于主观变量一一风险收益偏好。既然主观风险偏好对期权价格没有影响,这使得我们可以采用Black-Scholes期权定价模型所揭示的期权价格的这一特性，作出一个可以大大简化我们工作的简洁假设：在对衍生证券定价时，全部投资者都是风险中性的。在全部投资者都是风险中性的条件下(有时我们称之为进入了一个“风险中性世界”)，全部证券的预期收益率都可以等于无风险利率r,这是由于风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们担当风险。同样，在风险中性条件下，全部现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。应当留意的是，风险中性假定仅仅是一个人为假定，但通

7、过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性状况，也适用于投资者厌恶风险的全部状况。为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简洁的例子来说明。假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元,要么是9元。现在我们要找出一份3个月期合同价格为10. 5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于1

8、1元时，该组合价值等于(口(). 5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：11 -0. 5=9=0. 25因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0. 25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2. 25元。在没有套利机会状况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风险年利率等于10%,则该组合的现值应为：2.25es =2.19 元由于该组合中有一单位看涨期权空头和0. 25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此:100.25-/ = 2

9、.19/ = 0.31u这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票提升和下降的概率也就确定了。例如,在风险中性世界中，无风险利率为10%,则股票提升的概率P可以通过下式来求:10 = e-,x025 llP + 9(l-P)P=62. 66%o又如，假如在现实世界中股票的预期收益率为15%,则股票的提升概率可以通过下式来求：10 = e,5x025 llP + 9(l-P)P=69. ll%o可

10、见，投资者厌恶风险程度打算了股票的预期收益率，而股票的预期收益率打算了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票提升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0. 31元。Black-Scholes期权定价公式的计算(-)Black-Scholes期权定价模型的参数我们已经知道，Black-Scholes期权定价模型中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率(即标的资产收益率的标准差)。在这些参数当中，前三个都是很简洁获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过肯定的计算求得估量值。1 ,估量无风险利率在

11、发达的金融市场上，很简洁获得对无风险利率的估量值。但是在实际应用的时候仍旧需要留意几个问题。首先，我们需要选择正确的利率。一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估量值。由于美国国库券所报出的利率通常为贴现率（即利息占票面价值的比例），因此需要转化为通常的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在Black-Scholes公式中应用。其次，要当心地选择国库券的到期日。假如利率期限结构曲线倾斜严峻，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我们必需选择距离期权到期日最近的那个国库券的利率作为无风险利率。我们用一个例子来说明无风险利率的计算。假设一个还有84天到期的国库券，其买入报

12、价为8.83,卖出报价为8.77。由于短期国库券市场报价为贴现率,我们可以推算出其中间报价对应的现金价格（面值为100美元）为= 100-产萨T隰卜97.947美元进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率：er（T6 oo. oo 101.501.01500.01490.000154在Black-Scholes公式所用的参数中，有三个参数与时间有关：到期期限、无风险利率和波动率。值得留意的是，这三个参数的时间单位必需相同，或者同为天、周，或者同为年。年是常常被用到的时间单位，因此，我们常常需要将诸如表1中得到的天波动率转化为年波动率。在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重视：一年的天数毕

13、竟依据日历天数还是依据交易天数计算。一般认为，证券价格的波动主要来自交易日。因此，在转换年波动率时，应当依据一年252个交易日进行计算。这样，表1中计算得到的天波动率相应的年波动率为b=x = 3467o在我们的例子中，我们使用的是10天的历史数据。在实际计算时，这个天数的选择往往很不简洁。从统计的角度来看，时间越长，数据越多，获得的精确度一般越高。但是，资产价格收益率的波动率却又常常随时间而变化，太长的时间段反而可能降低波动率的精确度。因此，计算波动率时，要留意选取距离今日较近的时间，一般的阅历法则是设定度量波动率的时期等于期权的到期期限。因此，假如要为9个月的期权定价，可使用9个月的历史数

14、据。(2)隐含波动率从Black-Scholes期权定价模型本身来说，公式中的波动率指的是将来的波动率数据，这使得历史波动率始终存在着较大的缺陷。为了回避这一缺陷，一些学者将目光转向隐含波动率的计算。所谓的隐含波动率，即依据Black-Scholes期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据。明显，这里计算得到的波动率可以看作是市场对将来波动率的预期。当然，由于Black-Scholes期权定价公式比较简单，隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。()Black-Scholes期权定价公式的计算下面用一个简洁的例子，来说明这一模型的计算过程。例假设某

15、种不支付红利股票的市价为50元，无风险利率为12%,该股票的年波动率为10%,求该股票合同价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格。 = e 23 = 100 r = 0.0902Pii97.9472 .估量标的资产价格的波动率估量标的资产价格的波动率要比估量无风险利率困难得多，也更为重要。估量标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。（1）历史波动率所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。以股票价格为例，表1列出了计算股票价格波动率的一个简洁说明。很明显，计算波动率的时候，我们运用了统计学中计算样本均值和标准差的简洁方法。其中，（为股票价格百分比收益率，R （或者为）则为连续复利收益率（估量）均值，Var（R）（或者/）则是连续复利收益率（估量）方差，。就是相应的（估量）标准差（波