专题04 等式与不等式性质、基本不等式及一元二次不等式大题综合（精选30题）（解析版）.docx

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1、专题04等式与不等式性质、基本不等式及一元二次不等式大题综合（精选30题）考点归纳1 .等式的性质性质1如果=b,那么匕=。性质2如果=/?,b=c,那么Q=C性质3如果=b,那么c=8c性质4如果。=匕，那么c=jc性质5如果=8,c0,那么q=2CC2 .作差法比较大小关系a-bOabta-b=b=a=b,a-bOab=bb,bcac性质3可加性=a+c+c性质4可乘性ab,c0=acbe性质5同向可加性ab,cd=a+cb+d性质6同向同正可乘性abO,cdOacbd性质7可乘方性ab0=anb,(nN1.,2)性质8可开方性b0=ya,4b(nN+,w2)乂小b+mbbmaa-maa-

2、mbO,m0,则尸o+m；九疗-b*m；b0,60=土也当且仅当二b时取等号2.其中土心叫做正数。，b的算术平均数，2而叫做正数4,Z?的几何平均数通常表达为：a-b14ab（积定和最小）应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论1基本不等式的推论2a0,Q0=b（十）（和定积最大）4当且仅当。=匕时取等号V,bRa2+b22ah当且仅当Q=匕时取等号5 .二次函数的图象与性质y=ax1+bx+c(a0)a0a0=00一元二次方程ax2-bx+c=0（0）的根有两个不等实根X1,X2(X1)的图象1/I1卫Cyx,2Xax2+hx+c()(0)的解集(xjxV石或Ox2Rax2+Zjx+

3、c0)的解集xx1xO(WO)恒成立的充要条件是：dO且/一4CVO(XR).ar2+bx+cVO(r)恒成立的充要条件是：nJ(x)g(x)N而，o9 .解单绝对值不等式Wa(a)=x-0或x,NVa(a6)=-axab即cibyjab-5O,解，号ycib5或ab1（舍）当公=力时，即=,b=10时，等号成立所以曲252. （2324上佛山期中）已知乐V为正实数，且4+y2+y=）求个的最大值；（2）求2x+y的最大值.【答案】（1）24【分析】（1）根据题意，化简得到10-刈=4/+丁，结合基本不等式，即可求解；（2）根据题意，化简得到（2x+y）2-10=3xy（2岁）2,即可求解.【

4、详解】（1）解：因为xO,yO且4+V+盯=o,所以K）-孙=42+y221T7=4xy,所以X2,当且仅当4/=V,即X=1y=2时，等号成立，所以孙的最大值为2.（2）解：由xO,yO且4/+、2+刈=0,可得（2%+月2_3孙=10,所以（2x+y）2-10=3X（笥必2,解得（2x+16,所以2x+y4,当且仅当2x=y时，即X=1y=2时，等号成立,所以2x+y的最大值4.3. (2324上河南期中)已知集合A=d1-，xv2，一1cR,B=xx2-2x+1-m2).若用=3,且AB,求，的取值范围；12(2)若0vwv2,B=axbt求y=-七的最小值.6a+3b3a-3b【答案】

5、卜8,1【分析】（1）由AB,分类讨论，A=0和AH0,根据几何包含关系列不等式求解.为集合B=WX2-2x+1-W中的不等式因式分解，可以求出利用基本不等式求解.【详解】Vm=3,B=I-2x-80=-24.2又AB,.当A=0时，-t2t-,-,3-t2t-i25当AN0时，则有n-2,且后两个不等式中等号不能同时取到，可得Qf.2r-14综上，实数，的取值范围是卜O,I.(2)(2)V0w2,x2-2x+1-w2=x-(1-zn)ir-(1+w)0,.*.=1wX1/nJ,即=1仅，b=+rn.I211If11y=1=XI1I,6a+3Z?3a-3b9-3m3m33-mm)+=-1-(3

6、-zn+n)3-mm313-mm)4当且仅当m=3-M，即机=1时等号成立，,y的最小值为4.（2324上福州期中）设f（x）=ir2-2mr-3,wR若“VxRj（x）O”是真命题，求实数m的取值范围；解关于X的一元二次不等式22+。一根）-0【答案】(1)(-3,0(2)答案见解析【分析】(1)根据一元二次不等式的恒成立的求解方法求解；(2)利用含参一元二次不等式的解法，分类讨论求解.【详解】(1)由题可得，2a-30”是真命题,若相=0,则-3v0恒成立，满足题意：若m0,要使“VxeR,Wu*-2a-30”是真命题，则必有m0=4疗+12m0解得一3，”。，综上实数机的取值范围为(-3

7、,0.(2)因为混+(1-?)工一10是一元二次不等式，所以相0,又由mx2+(1m)无一10可得，(zu+1)(x-1)O,方程(侬+1)(x-1)1,即TVmVO时，原不等式的解集为(-81)4-m-,-m(Hi)若0-工1,即时，原不等式的解集为m(iiii)若-,0时，原不等式的解m综上,m0时，原不等式的解集为w)求ar2+(b-8)x-4b-21x+1(xT)的最大值.【答案】(1)a=-3h=5一3【分析】根据不等式解的结构，利用韦达定理列出方程组，解出即可:(2)化简表达式，再利用基本不等式求最值即可.【详解】(1)据题意,方程加+他-8卜-0-帅=0的两根为-32由韦达定理结

8、合不等式的解集可得，aT,所以x+1O,所以x+1+r2,当且仅当X=O时等号成立，x+1所以-3x(+1)+J-1-3,_x+1_即所求的最大值为-3.6.(2324上嚷阳.期中)中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术

9、革新和营销策略改革，并提高定价到X元.公司拟投入,(/-600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传O费用，投入y万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2）。至少应达到10.2万件，每件定价30元.【分析】（I）设每件定价为/兀，由题设有H8-O2（525）25x8,解一元二次不等式求f范围，即可确定最大值；（2）问题化为425时，。2空+=+!有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【详解】（1）设每件定价为f元，依题意得48

10、-0.225）258,则t2-65+1000=-25）（/-40）0,解得25MEM40,所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元1（2）依题意，x25时，不等式以25x8+50+三（/-600）+=有解，65等价于x25时，变+J+?有解，X65因为空+I,22J空，X=K）（当且仅当=30时等号成立），X6VX6所以210.2,此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量。至少应达到102万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.7. （2324上浙江期中）（1）已知实数X,），满足-2Vx-1,2y3,求3x-2y的取值范围；2（2）已知实数x1,求x+一、的最小值.X-I【答案】（1）HN-小（2）22+1.【分析】（1）由不等式的性质求解；（2）由基本不等式求最小值.【详解】（I）因为2x-1,所以6W3x-3,因为2y3,所以-6-2y-4,所以T23x-2y-7,所以31-2），的取值范围是72,-7.(2)x,则X-I0,所以