概率论与数理统计习题3详解.docx

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1、一、第三章习题详解:3.1设二维随机向量(X,y)的分布函数为：F(x, y)=1-2- 2、 + 2-x-y x0,0,0,其他求PlvX2,3vF5 .解：由于 F(2,5) = l-2-2-25+2-7, F(l,5) = l-2-1 -2-5 +26F(2,3) = l-2-2-23 + 25, F(l,3) = l-2, - 23 + 2-4所以 P(lX2,3 0,其他（1）求分布函数F（x,y）;（2）求 py0,y0,F(x, j) = J (w,v)dudv =j2什久位小=2e2,ldue-vdv =(1-2v)(l-e、)其他情形,由于(x,y)=0,明显有尸(无,y)=

2、00综合起来，有F(x, y)=0,x 0, y 0,其他（2）求pyxPX,) =7r(l + x2 + y2)2-x9y +,求命中点与靶心（坐标原点）的距离不超过。的概率.解：P(x2 + y2 t2)= x2+y2a2(l + x2 +y2)22=呵：4(1 + /)2dr2-二 2 l + r21-=工1 + / + a23.7设二维随机向量（X/）的概率分布如下表所示，求X和r的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：由于 P(X =1) = 0.15 + 0.25 + 0.35 = 0.75P(X =3) = 0.05 + 0.18 + 0

3、.02 = 0.25所以，X的边缘分布为X13P0.750.25由于 p(y = 0) = 0.15 + 0.05 = 0.20p(y = 2) = 0.25 + 0.18 = 0.43p(y = 5) = 0.35+ 0.02 = 0.37所以，丫的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8 设二维随机向量(x,y)的概率密度函数为3口2(x,y) =，产,0,0x2,0yl,其他求边缘概率密度Jx(x),4(y)解：由于，当 0x,) = z fx,y)dx = -xydx = -其他情形，明显万(y) = 0所以，y的边缘分布密度为0 y 1其他3.9 设二维随机向量(X,y)的

4、概率密度函数为(, y)=48y(2r),0, 其他()xl,()yx,求边缘概率密度x(x),r(y)解，积分区域明显为三角形区域，当0xl时，OyW = 0 48y(2 - x)dy = 2.4(2 -x)y2 = 2.4(2 - x)x2 ；其他情形，明显A(x) = 0.所以，X的边缘分布密度为r /2.4x2(2-x) 0x 1人叫0 其他同理，当0yl时，yxl,因此f(y) = y y)dx = 4.8y(2-x)dx = 2.4y(4x-x2) = 2.4y(3-4y + y2)其他情形，明显y(y) = O.所以，y的边缘分布密度为f(y) =2.4y(3-4 + 2)0()

5、l其他3.10 设二维随机向量(x,y)的概率密度函数为f(, y)=c, x2 y1 XJ(%yww=J。成93f1 z2i X % =c (x-x )dx = c()Jo23所以c = 6.(2)由于，当 0xl 时，fx (x) = (x, y)dy = cdy = 6(x - x2)所以，X的边缘分布密度为fx (x)=6(% -%2) 0 x 1又由于，当Oyl时,所以，丫的边缘分布密度为其他00 y 1其他3.11求习题3.7中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37（1）当x=时，y的条件分布为P(y =

6、0X = l)p(y = 21 x = 1)=0.15 _ 1(75 50.35 _ 7055 l5P(Y = 2X = ) = - = -0.75 3Y025P1/51/37/15当X=3时,C的条件分布为p(y = 01 X = 3)=P(Y = 2X = ) =U P(Y = 2X=3) = =更0.25 50.25 250.02 _ 2(25 25Y025P1/518/252/25(3)当丫=0时，X的条件分布为P(X =ly = O) = = 3 P(X = 3y = O) 二0.20 40.20 4X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为0 250 1RP(X =ly

7、= 2) = -= 0581 P(X = 3Y = 2) = = 04190.430.43X13P0.5810.419当7=5时，X的条件分布为X13P0.9460.054p(x = ly = 5) = 0.9460.37P(X=3y = 5) =也= 0.0540.373.12 设x在区间(0/)上随机地取值，当观看到x=mox 1)时，丫在区间0,i)上随机地取值，求Y的概率密度函数.解：由于fx (x)=1 Oxl0 其他, 4(y) = -x yix其他所以(x,y)的联合密度为于是(,y) = x()yx(y) = ,0 x l,x , 1其他f(y)=匚 /(乂 y 鼠 = ： jcdx = -ln(i-y) = (Oyl)0yl其他故y的密度函数为c z、 Inf(y) = l-y03.13 设二维随机向量(X,y)的概率密度函数为x2+-, ()xl,0 y2,/(羽y)=3 ,0, 其他求条件概率密度 fx(xyfx (yx),以及 PY ； X = %.解：由于，当 0xl 时，x(x) = j (x, y)dy - (x2 + )dy = 2x2 +又当 0y2 时，人(y) =匚 (,)岫= (2+w = g +:所以，在丫二丁的条件下X的条件概率密度为fx( I y)=/(国 y)f(y)6x2 + 2xy2 + y0Ox