直线与圆8大题型.docx

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1、直线与圆8大题型1、直线方程、直线的平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查；3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。一、切亍和垂直的直线的设法1、平行：与直线幺+的+=。垂直的直线方程可设为Ar+为+机=O2、垂直：与直线Ar+约，+=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay-in=O二、直线与圆相交时的弦长求法：厂一1、几何法：利用圆的半径一，圆

2、心到直线的距离d,弦长/之间的关系(c)整理出弦长公式为：=2r2-J22、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；3、弦长公式法：设直线/：y=心+人与圆的交点为(3,凹)，(/，%),将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长/=J1+&2,-X2=J(1+c2(1+X2)2-4xix2三、直线与圆相切时的切线问题1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。(1)若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；(2)若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况【注意】过圆内一点，不能作圆的

3、切线。2、求过圆上一点(%,%)的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率上,若k不存在,则结合图形可直接写出切线方程)，=%；若Z=O,则结课图形可直接写出切线方程X=Xo；若我存在且A0,则由垂直关系知切线的斜率为-1,由点斜式写出切线k方程。法二：若Z不存在，验证是否成立；若Z存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。3、过圆外一点(%,%)的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为左，则切线方程为y-y.=k(x-x.),即k-y+yo-kn=O由圆心到直线的距离等于半径，即可求出左的值，进而写出切线方程；法二：当斜率存在时，设为左,则切线方程为y-y0=c(x-

4、0),即kx-y+yo-kxo=O代入圆的方程，得到一个关于工的一元二次方程，由A=。，求得女,切线方程即可求出。四、与圆的切线相关的结论1、过圆一+),2=/上一点pg,%)的圆的切线方程为/+%=/；2、过(-a)2(y-Z,)2=r2上一点P(x,y0)的圆的切线方程为(x-)(-)+(y8)(%一人)=r23、过(4+(广力=，外一点P&,%)作圆的两条切线，切点分别为A,B则切点弦AB所在直线方程为：(xa)(XO-1)+(y-b)(%-)=，4、若圆的方程为(Aa)2+3-蛾=,，则过圆外一点P(,%)的切线长为d=1&-4+旧一/一户.5、圆心的三个重要几何性质：(1)圆/1?在

5、过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在某一条弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。五、两圆的公切线1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线；2、公切线的条数位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线热点题型解读题型4圆的切线方程与切线长题型2直线的平行与垂直问题题型3圆的标准方程与一般方程题型1直线方程、倾斜角与斜率直线与圆题型5圆的切点弦与弦长问题题型6两圆的公共弦问题题型7两圆的公切线问题题型8与圆有关的最值问题【题型1直线方程、倾斜角与斜率】【例1】(2023高三课时练习)若直线人产点与直线2x+3y-6=0

6、的交点位于第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是()【变式1-1J(2023.陕西西安校考模拟预测)A(-2,0),8(2,0),C(0,2),E(T0),尸(1O),一束光线从点产出发射到BC上的点。，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则的斜率的取值范围是()A.(e,2)B,(0,+)C.(1,+)D.(4,+)【变式1-212023秋山西高三校联考阶段练习I多选圮知直线4-4y1=0,直线4：6x-8y-3=0过点P(0,2)的直线/与/的交点分别为M,N.且IMNI=当，则直线/的方程为()A.7x-y+2=0B.7x+y-2=0C.x+7y-14=0D.x-7y

7、+14=0【变式1-3(2023高三课时练习)直线/过相异两点A(-sinacos*)和网0,1),则/的倾斜角的范围是.为【题型2直线的平行与垂直问题】【例2】（2023吉林统考二模）已知0,八0,若直线4:依+如-2=0与直线Z2x+（1-）y+1=。垂直，贝。+2）的最小值为（）A.1B.3C.8D.9【变式2-1（2023秋黑龙江哈尔滨高三哈尔滨三中校考阶段练习）?=4是直线（m-2）x+（n+1）y+3=0与直线（2m+2）x%，+2=0垂直的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【变式2-2（2023春四川成都高三树德中学校考开学考试）若直线心

8、+y=。与直线2x+分-1=0平行,其中八b均为正数，贝h+2b的最小值为.【变式2-3（2023重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数仆I栏在x=1处的切线与直线）=2x平行，则=.【变式2-4（2023.安徽合肥.统考一模）函数=丁-Hnx在点（Ij）处的切线与直线+I=。平行，则实数.【题型3圆的标准方程与一般方程】例3（2023.陕西咸阳校考一模）圆/萌生其轴，半径为1,且过点A（II）的圆的标准方程是.【变式3-1X2023秋福建泉州高三校考开学考试）M是圆C:Y+V=1上的动点，点N（2,0）,则线段MN的中点尸的轨迹方程是.【变式32】（2023山东威海统考一模）在平面直角坐

9、标系中，过A（T4）,8（2,6）,C（TT）Q（ZT）四点的圆的方程为,【变式3-3（2023全国校联考模拟预测）写出以原点为圆心且与圆C：/十9一分+3=0相切的一个圆的标准方程为.【变式3-4】（2023湖北武汉.统考模拟预测）设A,8是半径为3的球体。表面上两定点,且4。8=60。，球体。表面上动点P满足I尸AI=2|因，则点尸的轨迹长度为（）Aa兀B.M1rC.D.115713【题型4圆的切线方程与切线长】【例4】（2023秋河北张家口高三统考期末）过点P（U）作圆/+2_叙+2尸0的切线，则切线方程为（）A.x+y-2=0B.2x-y-1=0C.x-2y+1=0D.X-2y1=0j

10、j2x-y-1=0【变式41】（2023陕西宝鸡统考一模）已知直线y=+（九0,0）与圆（A1）?+-1）2=1相切，则叶的取值范围是（）A.（0,2B.（0,4C.2,E）D.4,+oo）【变式4-2（2023全国高三专题练习）已知直线-1=。是圆C：/+V-4A2y+1=。的对称轴，过点A(-3M)作圆。的一条切线,切点为B,则M等于()A.2B.5C,42D.210【变式4-3(2023秋河南高三校联考阶段练习)直线/过点(2D且与圆U(x+1)2+丁=9相切，则直线/的方程为.【变式4-4(2023秋黑龙江哈尔滨高三哈尔滨三中校考阶段练习)在平面直角坐标系Xoy中，已知圆C经过点(1i

11、)且圆心在射线y=3Q0)上，被丫轴截得弦长为26,点M(3,0).(1)求圆C的方程；(2)求过点M且与圆C相切的直线方程.【题型5圆的切点弦与弦长问题】【例5】(2023内蒙古校联考模拟预测)已知直线/：2x-y-2=。被圆Uf+y2_2%+4y+,=。截得的线段长为不，则m=()A.2B.4C.5D.5【变式5-1(2023.全国.模拟预测)若直线2x-y-2=0与直线2x-y-1=0被圆C.x2+y2-2x-6y-m=O(W-10)截得的弦长之比为1:0则圆C的面积为()A.2B.yC.3兀D.y【变式5-2(2023.全国.模拟预测)已知点P为直线/：x+)T=0上一动点,过点P作圆

12、X2+/=1的两条切线，切点分别为A1B1则直线4夕恒过的定点的坐标为.【变式5-3】(2023秋吉林长春高三长春市第二中学校考期末)过点*4,3)作圆U(XT)2+(y-2)2=4的两条切线,切点分别为4,B,则AB的直线方程为.【变式5-4(2023高三课时练习)直线广。与圆C：/+y2_2x-4)，=0相交于人B两点,则二ABC的面积是.【题型6两圆的公共弦问题】【例6】(2023.全国高三专题练习)圆。/：x2+y2-2x=0与圆Oi:x2+y2+4y=0的公共弦所在的直线方程是()A.x+2y=0B.x-2y=0C.2x+y=0D.2x-y=0【变式6-1(2023秋浙江丽水高三浙江

13、省丽水中学校联考期末)已知圆G：/+y2=4与圆G：(x-1)2+(y-1)2=10相交于A3两点，贝UA8=.【变式6-212023秋黑龙江大庆高三铁人中学校考期末词G:(x-1f+(y-2)2=4与圆G：一十),-4x-2y+1=0的公共弦长为.【变式6-3(2023全国高三专题练习)已知圆f+),2+2A4y-5=0与圆/+y2+2=o相交于两点,则公共弦AB的长度是.【变式6-4】(2023全国高三专题练习)圆G：%2+y2_2x_6y-1=()和C2.x2+y2-0x-2y+m=0.(1)，取何值时G与G内切？(2)求，=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【题型7两圆的公

14、切线问题】【例7】(2023内蒙古赤峰统考模拟预测)下列直线中,不是圆F+V=i和(kN+(y-4)2=16公切线的一条直线是(【变式7-1(2023全国模拟预测)已知圆a：(x-2)2+(y-3)2=4,圆O2x2+y2+2x+2y-7=0,则同时与圆。和圆Q相切的直线有()A.4条B.3条C.2条D.O条【变式72】(2023.广西北海.统考一模)已知圆G：(x-3)2+(y+4)2=1与G：(x-a)2+(y-a+3)2=9恰好有4条公切线,则实数的取值范围是()A.(-,0)u(4,+)B.(o,1-6)(1+6,+co)C.(0,4)D.(-,-1)u(3,)【变式7-3(2023秋浙江绍兴高三统考期末)O2”是“圆G：+y2=尸(0)与圆G心-3)2+)，2=1有公切线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【变式7-4(2023.河北.高三河北衡水中学校考阶段练习)图为世界名画蒙娜丽莎.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为1的圆。的一段圆弧E,且弧E所对的圆周角为笥.设圆C的圆心C在点。与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆C满足:弧E上存在四点满足过这四点作圆。的切线,这四条切线与圆C也相切，则弧石上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为()A.(