计数原理综合10大题型.docx

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1、计数原理综合10大题型命题趋势排列组合问题往往以实际问题为背景,考查排列数、组合数、分类分步计数原理，难度基本稳定在中等。二项式定理问题是高考的热门考点，主要考查二项展开式的通项，二项式系数和及各项系数和等问题，从近几年来看，围绕二项展开式的通项公式命题，考查某一项或考查某一项的系数较多。我分技可一、排列组合常见问题的解题策略1、特殊优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；2、相邻捆绑法：相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列；3、不相邻插空法：先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中；4、定序倍除法：全部排列后,除以有J11页序要求的排列；5、

2、定序排他法：有J1质序要求部分只有一种排法,只要把剩下部分排列即可；6、间接法：正面分类太多从反面入手；7、直接法：分排问题直排处理；8、重排求鬲法：可以重复的排列问题实际以元素为研究对象，元素不受位置限制，可以逐一安排各个元素；9、多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以看出一排问题，再分段研究；10、分组分配(1)解题思路：先分组后分配,分组是组合问题，分配是排列问题；(2)分组方法：完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；部分均匀分组，有，组元素个数相同，则分组后除以加;完全非均匀分组，只要分组即可；(3)分配：相同元素的分配问题，常用挡板法；不同元素的分配问题，分步乘法计数原理，先分组

3、后分配；有限制条件的分配问题，采用分类求解；11、相同元素隔板法：将个相同的元素分成加份，每份至少一个元素，可以用机-1块隔板插入个元素排成一排的I个空隙中，所有分法数为C二二、求二项展开式的特定项的常用方法1、对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即O次项)；2、对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集,再根据数的整除性来求解；3、对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.设点题型解读题型1两种计数原理题型2涂色问题题型3排序问题题型4排数问题题

4、型5分组分配问题题型6最短路径问题题型7二项展开式的特定项求解题型8二项式系数与项的系数最值题型9系数和问题题型10杨辉三角形【题型1两种计数原理】例1（2023.江苏连云港.统考模拟预测）现要从A,B,C,D,E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）A.56种B.64种C.72种D.96种【变式1-1J（2023福建漳州统考二模）2023年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晚会,原定的5个学生节目已排成节目单,开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到

5、原节目单中，则这两个教师节目相邻的概率为【变式1-2（2023.甘肃兰州校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有（）A.30种B.36种C.42种D.48种【变式1-3（2023秋.江西南昌高三校联考阶段练习）2023年9月5日，四川甘孜州泸定县发生6.8级地震，某医院决定派遣5名医生前往3个区域参与救援，其中男医生3名，女医生2名.要求每个区域至少要有I名男医生，则不同的派遣法有（）A.18B.36C.54D.72【变式1-4（2023山东荷泽统考一模）为了迎接“第32届荷泽国际牡丹

6、文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作,现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（A.9种B.11种【题型2涂色问题】例2（2023内蒙古校联考模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（）【变式2-2（2023山西I缶汾统考一模）如图,现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同

7、一种颜色的花卉，共有种不同的绿化方案（用数字作答）.【变式2-3（2023全国高三专题练习）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有种.【变式2-4（2023高三课时练习）现有五种不同的颜色,要给四棱锥P-ABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点所涂颜色不能相同，一共有种涂色方法.【题型3排序问题】【例3】（2023广东广州统考二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必

8、须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有_种.（用数字作答）【变式3-1（2023秋宁夏石嘴山高三石嘴山市第三中学校考期末）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为.（用数字作答）.【变式3-2】国龙外校第一届班主任节上，有3名高二学生给3位高二优秀班主任献花,献花后师生共同合影,要求6人站在一排如果要求老师与学生相间站，那么站法有（）A.36种B.72种C.108种D.144种【变式3-3（2023秋广东揭阳高三统考期末）已

9、知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带I个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端,3个小孩要排在一起,则不同的排队方式的种数为（）C.72A.288B.144D.36【变式3-4（2023春山西晋城高三校考阶段练习）某文艺演出团从包括甲、乙、丙在内的7名演员中选派4名参加演出，要求甲、乙、丙这3名演员中至少有1人参加，且当这3名演员都参加时，甲和乙的演出顺序不能相邻，丙必须排在前两位，则所选派的这4名演员不同的演出顺序有（）A.680种B.720种C.744种D.768种【题型4排数问题】例4（2023秋江苏盐城高三盐城中学校考阶段练习）用1,2,3,4,5

10、五个数字组成五位数，则数字2和4不相邻的概率是（）【变式4-1（2023广东汕头高三校考阶段练习）如果一个四位数的各位数字互不相同,且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完美四位数（如1036）,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数中,奇数的个数为.【变式42】（2023春山西忻州高三校联考开学考试）从1,2,3,。这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则这些三位数的和为.【变式4-3（2023全国高三专题练习）用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数?（1）偶数：（2）左起第二四位是奇数的偶数；（3）比21034大的偶数.【变式

11、4-4（2023.全国高三专题练习）由数字123,4,5组成无重复数字的五位数.（1）一共可以组成多少个五位偶数？（2）在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有几个？【题型5分组分配问题】【例5】（2023陕西铜川校考一模）将4名新招聘的工人分配到A,8两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A.36种B.14种C.22种D.8种【变式5-1（2023春江苏南京高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.1

12、20种C.240种D.480种【变式5-212023.重庆统考一模）2023年8月某市组织应急处置山火救援行动,现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务,另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到I个项目且每个项目至少分配1个志愿团队则不同的分配方案种数为（）A.36B.81C.120D.180【变式5-3（2023秋福建厦门高三厦门外国语学校校考期末）长郡中学体育节中,羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），贝U3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（）【变式5-412023秋.吉林长春.高三长春外国

13、语学校校考期末改今年8月开始,南充高中教师踊跃报名志愿者参加各街道办、小区、学校的防疫工作，彰显师者先行、师德担当的精神，防疫工作包含扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工作，现从6名教师自愿者中，选派4人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调工作，要求每项工作都有志愿者参加，不同的选派方法共有（D.1080【变式5-5（2023.全国高三专题练习）某校安排5名同学去A,3,C,。四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为.【题型6最短路径问题】例6（山东省泰安月巴城市2023-2023学年高二下学期期中考试数学试题）某小区的道路网如图所示，则

14、由A到C的最短路径中，经过B的走法有（）BAA.6种B.8种C.9种D.10种【变式6-1（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2023学年高一上学期入学考试数学试题）一只小虫子欲从A点不重复经过图中的点或者线段，而最终到达目的地E,这只小虫子的不同走法共有（）A.12种B.13种C.14种D.15种【变式6-2（2023秋广东惠州高三校考期末）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），C。段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（）【变式6-3（上海市南洋模范中学2023-2023学年高二上学期期末数学试题）有一道路网如图所示，通过这一路网从A点出发不经过C。点到

15、达B点的最短路径有种.【变式6-412023.全国高三专题练习班形是中国古代城市建筑最基本的形态,它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由8个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从A点出发，沿着竹棍到达3点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（）【变式6-5（上海市向明中学2023-2023学年高二下学期期末数学试题）如图,在某城市中，M,N两地之间有整齐的6x6方格形道路网，其中A是道路网中的一点.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N,何处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走.（1）求甲从M到达N处的走法总数;（2）求甲乙两人在A相遇的方法数.【题型7二项展开式的特定项求解】例7（2023重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在二项式j的展开式中，常数项为.【变式7-1】（2023春北京高三校考阶段练习）在卜的展开式中，第四项为（）A.160B.-160C.160d