数列题型与解题方法归纳总结.docx

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1、知识框架数列V的概念,数列的分类数列的通项公式一函数角度理解数列的递推关系等差数列等差数列的定义%-4_1=d(n2)等差数列的通项公式%=a+(-1)d等差数列的求和公式乂=/(c+%)=nax+辿Fd等差数列的性质4+ap+aqm+n=p+q)等比数列的性质apaq(m+n=p+q)公式法分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明数列的应用簿付款其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对

2、于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为an+=an+d及an+=qan(d,q为常数)例1、已知a满足an+=a+2,而且ai=1。求a例1、解/一二2为常数.瓜是首项为1,公差为2的等差数列.,.an=1+2(n-1)即ar=2n-1例2、已知%满足。+1=；%,而Q1=2,求%=?解3：是常数二.、是以2为首项，公比为T的等比数列32出j击(2)递推式为an=an+f(n)令n=1,2,，(n1),代入得(-1)个等式累加,即(a2-a)+(出-a2)+(an-an-)1z1、=3【(匕).Ia12说明、35,2n-32n-1

3、”_)1z1、4-312n-1jan=+-)=-S22n-1An-2只要和f(1)+f(2)+f(n-1)是可求的，就可以由an=an+f(n)以n=1,2,（n-1）代入，可得nT个等式累加而求a0递推式为a*par+q（p,q为常数）例4、/中，a1=19对于n1(nN)有=3,+2,求知.解法一：由已知递推式得ar+=3an+2,an=3a-+2o两式相减：a-a=3(an-an-)因此数列an+i-aj是公比为3的等比数列，其首项为az-a1=(31+2)-1=4.,.an+-an=43n1*.*a+=3an+2.,.3an+2-an=43n1即an=23n-1-1解法二：上法得瓜+a

4、n是公比为3的等比数列，于是有：a2-a=4,a3-a2=43,a4-a3=43,an-a-=43n2,把n-1个等式累加得：己-a1=4i3+35*笋4)=4。)an=23n-1-1(4)递推式为ar+=pa+qn(p,q为常数)1例5己知(4)中，a1=,an.1(1)叫求MG5N略解在的两边乘以*得2211%15(2%n)1令b.=2a2则1=能+1,于是可得bn+1-bn=-(bn-bn由上题的解法，得：bn=3-2(-Y说明对于递推式=pa+q可两边除以（f”,得唱z-引辅助数列0),(_=?),得%“后用qqqqqq递推式为“八+2=PSrI思路：设%+2=P%+敦，可以变形为：a

5、n+2-aan+ian+i-aan),+B=p就是a”？=(+B)k-B1则可从，CRP解得,B.QP=、1y电于是+厂Qan)是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。211例6已知数列(aj中.a1=ha2=2.%广:j+q1*i5求,+=p1a+B=：,a=-qa.13J21解在，“=铲同+yar两边诫去a得(&E-%1)=-1(%-ah)(4.”是公比为4,首项为a?=1的等比数列.%”7)。+(1*.+(;尸.aa1+2(1-(-1)Z(6)递推式为Sn与4的关系式【例7】设(%)前n项的和S.=4-an-(1)求am与a11的关系；(2)试用n表示ao解(1)由Sn=4-a11-HT

6、得c_aIi1a12ctSn+1-Sn=(an+1)+111an+1=aHan+an+1=/+上式两边同乘以2日得2n+1an+1=2n+2则2%是公差为2的等差数列。2nan=2+(n-1)2=2n._na一河数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果4等差，2等比，那么。/叫做差比数列)即把每一项都乘以的公比4，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列和V1j1ya+y(2n+1(其中2等差)可裂项为:等差

7、数列前项和的最值问题:1、若等差数列%的首项公差dv。，则前项和S有最大值。art0(i)若已知通项。，则S最大n；KiO(ii)若已知1=夕2+q，则当几取最靠近41的非零自然数时乂最大;2p2、若等差数列%的首项。，则前项和S有最小值O(i)若已知通项a,则S最小。；1O(ii)若已知S=p+q72,则当几取最靠近的非零自然数时SM最小;2p数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。/,5=1)已知5(即q+%+%=/()求%,用作差法：4=帆CU已知%=/()求。，用作商法：an=已知条件中既有S还有猴，有时先求5，再求应；有时也可直接求凡。(4)+1-an=/()求知

8、用累加法：an=(an-an_x)+(-1-an_2)+(%)+1(2)o(5)已知+=/()求att,用累乘法：=3，-(J1(2)oanan-1an-2Q1(6)已知递推关系求0,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，形如为二3_+、an=kan+bn(人)为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为左的等比数列后，再求册；形如+8的递推数列都可以除以3得到一个等差数列后，再求知。(2)形如4=%的递推数列都可以用倒数法求通项。版n-1+b(3)形如。.二。J的递推数列都可以用对数法求通项。(7)(理科)数学归纳法。(8)当遇到a.-氏_=d或也=夕时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是

9、分段形式。an-1数列求和的常用方法：(1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将和式”中同类项先合并在一起,再运用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法).(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和

10、.常用裂项形式有：1；1n(j+1)nn+1n(j+k)knn+k111z111111111-7-9(),-7-;k2左212k-1k+1kk+(左+1)左k2(k-1)kk-1k1111n11；(D-；(+1)(+2)2(+1)(+1)(+2)(n+1)!n(n+1)!2(+1)=-j=2-J=-a1+-a2+*a11=2n+5解：n=1时,a1=21+5,.*.a1=14211口22时，a+a2+/Tan-=2n-1+5-得：a=22nan=2n1.14(n=1)a=d为常数，c0,c1,d)可转化为等比数列，设a11+x=c(a+x)=an=can,1+(c-1)x令(c-1)x=d,x

11、=C-I.a11+-1是首项为乐+4一,C为公比的等比数列Ic-1c-1练习数列aj满足a=9,3an+1+an=4,求a11(a-=O+1)7、倒数法2a例如：a1=1,an+1=,求a11an+2由已知得：=52=!+J-a+2a112a11.11_1,n+12为等差数列，-=1公差为1aa12-=1+(n-1)=(+1)._2*an-7n+12.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。Aon(n+1)1+2+3+n=工21+3+5+(2n-1)=n21a+2j+3j+11”),61-+/=喀也31 2j【例8】求数列1,(3+5),(7+9+10),(13+15+17+19),前n项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n=g(+1)个奇数，.二最后一个奇数为：1+1(n+1)-12=n2+n-1因此所求数列的前n项的和为r+cU*-DSn=2nn+12=73(n+1)