模型21 旋转型相似模型.docx

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1、专题21旋转型相似模型一、单选题1 .如图，正方形ABCO中，点尸是BC边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形,边FG与正方形ABC。的对角线4C相交于点”，连接。G.以下四个结论：NEAb=NGAO;AFCAGD；2AE2=AHAC；DG1AC.其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，ZEAB.NGAD与NBAG的和均为90。，即可证明/EAB与ACApNGAD相等；由题意易得AD=DC,AG=FG,进而可得一二，ZDAG=ZCAF,然后问题可证；ADAGApAQ由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证HA

2、FsFAC,则有一=，然后根据等量AHAF关系可求解；由及题意知NADG=NACF=45。，则问题可求证.【详解】解：Y四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形：,ZEAG=ZBAD=90o又.EAB=900-NBAG,NGAD=90。-NBAGZEAb=ZGAD正确Y四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形AD=DC,AG=FGAC=2AD,AF=2AG.4=近,也=及ADAG即生=ADAGXVZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC：.ZDAG=ZCafAFCMGD正确四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线：,NAFH=NACF=45。Xvzfah=ZcafHAFFAC

3、.af-ac,*a77-AF即AF2=AGAHXVAF=2AE 2AE1=AHAC 正确由知AFCAGD又Y四边形ABCD为正方形，AC为对角线：,ZADG=ZACF=45o DG在正方形另外一条对角线上DGAC 正确故选：D.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明.二、解答题2.如图，四边形48CZ）和四边形AEFG都是正方形，C,F,G三点在一直线上，连接A尸并延长交边Co于点M.（1）求证：卜MFCsRMCA:（2）求证AAbs2MBE;（3）若。M=1,CM=2,求正方形AE/G的边长.【答案】（1）证明见

4、解析；（2）证明见解析；（3）5.【分析】(1)由正方形的性质得NACD=NAFG=45。，进而根据对顶角的性质得Na=NAaW,再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；p(2)根据正方形的性质得一=,再证明其夹角相等，便可证明AMBsAabE;AEAB(3)由已知条件求得正方形488的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由ZwfcsNwc4,求得R0，进而求得正方形AEPG的对角线长，便可求得其边长.【详解】解：(1)四边形ABC力是正方形，四边形AEFG是正方形，ZACD=ZAFG=45,/CFM=ZAFG,.NCtM=ZACM,.NCMF=ZAMC,.MFCMCA;(2).四边形A5

5、C。是正方形,ZABC=90,ZBAC=45。，/.AC=2同理可得4/=J1AE，.AFAC6=z,AEABZEAF=ZBAC=45,ZCAF=ZBAe,.ACFABE(3).fM=1,CM=2，.AD=CD=1+2=3,.am=7ad2+dm2=2+2=io，MFC(MCA,CMFMr2FMAMCM)232加FM=，5.AF=AM-FM5231AG=AF=-5,25即正方形的G的边长为6【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质.3.如图，在心AABC中，ZAC8=90o,ZBAC=a,点D在边AC上(不与点A、C重合)连

6、接BD,点K为线段BD的中点，过点D作Z)E_1AB于点E,连结CK,EK,CE,将ADE绕点A顺时针旋转一定的角度(旋转角小于90度)(1)如图1.若a=45。,则ABCK的形状为；(2)在(1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D,E,B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：BE-AE=ICK,(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D,E,B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE,AE,CK三者之间的数量关系(用含a的三角函数表示)【答案】(1)等腰直角三角形；(2)见解析；(3)BE-AE=2CK;【分析】(1)利用直角三角形斜边中线的性

7、质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC,NEKC=90。即可；(2)在BD上截取BG=DE,连接CG,设AC交BF于Q,结合等腰在角三角形的性质利用SAS可证AECBGC,由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证AECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG,等量代换可得结论.(3)在BD上截取BG=DE,连接CG,设AC交BE于Q,根据等角的余角相等可得NCAE=NCBG,由Iana的表示可得生二空，易证CAE-CBG,由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.ACAE【详解】(1)等腰直角三角形：理由：如图1中，VZA=45o,ZACB=90o,ZA=ZCBA=

8、45o,/.CA=CB,VDE1AB, ZDEB=90o,VDK=KB,AEK=KB=DK=BD,2ZKEB=ZKBE,：.ZEKD=ZKBE+ZKEB=2ZKBE, ZDCB=90o,DK=KB,ACK=KB=KD=BD,2ZKCB=ZKBC,EK=KC,：.ZDKC=ZKBC+ZKCB=2ZKBC,ZEKC=ZEKD+ZDKC=2(ZKBE+ZKBO=2ZABC=90o, ZXECK是等腰直角三角形.(2)证明：如图2中，在BD上截取BG=DE,连接CG,设AC交BF于Q. Z=45o,DE_1AE,ZAED=90o,ZDAE=45o, ADE是等腰在角三角形，ADE=AE=BG,VZ1+

9、Z3=Z2+Z4=90o,Z1=Z2,Z3=Z4,VAC=BC,AECBGC(SAS),CE=CG,/5=NBCG,JNECG=NACB=90。，,ECG是等腰直角三角形,VKD=KB,DE=BG,KE=KG,ACK=EK=KG,BE-AE=BE-BG=EG=EK+KG=2CK.(3)解：结论：BE-AEtan=2CK.理由：如图3中，在BD上截取BG=DE,连接CG,设Ae交BE于Q.VDE1AE,ZACB=90o,：,ZCAE+ZEQA=90o,ZCBG+ZCQB=90o ：ZEQa=ZCQB,zcae=zcbg,在RSACB中，BCtana=,AC在RtADE中，DEBGtana=，AE

10、AE.BC_BG，DE=AEtanaACAE.CAECBG,.ZACe=ZBCG,ZECG=ZACB=90o,KD=KB,DE=BG,.KE=KG,.EG=2CK,BE-BG=EG=2CK,BE-DE=2CK,BE-AEtan=2CK.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.4.（问题发现）（1）如图1,在R1zA8C中，A8=AC,D为BC边上一点（不与点8、。重合）将线段AO绕点A顺时针旋转90。得到AE,连结EC,则线段8。与CE的数量关系是，位置关系是；（探究证明）（

11、2）如图2,在RSABC和RtAAOE中，AB=AC,AD=AEf符AADE绕点A旋转,当点C,D,E在同一直线时，8。与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3,在RIZkBCO中，NBCo=90。，BC=2CD=4,将ACD绕顺时针旋转，点C对应点上，设旋转角NCAE为a（VaV36（）o）,当点C,D,E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度.12【答案】（I）BD=CE,BD.1CE,（2）BD1CE,理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度为二.【分析】（1）由题意易得AD=AE,ZCAE=ZBAd,从而可证ABDACE,然后根据三角形全等的性质可求

12、解；（2）连接8由题意易得NBAD=NCAE,进而可证BADgACAE,最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；（3）如图，过A作A/11EC,由题意可知RtAABCsRtAAEdZBAC=ZEAD=90,然后根据相似三角形的性质及题意易证BAECAD,最后根据勾股定理及等积法进行求解即可.【详解】解：（1）在RSABC中，AB=AC,ZB=ZACB=45o,VZfiAC=ZD4f=90o,ZBAC-ZDAC=ZDAe-NOAC,即/BAQ=NCAE,AB=AC在ABAO和中，ZBAD=ZCAE,AD=AEBADCAE（SAS）,：BD=CE,NB=NACE=45。,VNACB=45。,

13、ZBCE=45o+45o=90o,故答案为：BD=CE,BD1CE；(2) BD1CEt理由：如图2,连接班：在RsABC和RSADE中,AB=ACtAD=AEtZAEC=45,VZG4B=ZD4E=90o,：.ABAD=ACAEf9：AC=ABfAE=AD,CEABDA(SAS),：.NBDA=NAEC=45,：.NBDE=NAO8+NAOE=90。，：.BDCE；(3)如图3,过A作AE1EC,由题意可知RtABCsRsAED,NAAC=NE40=90。，ABAC,1.ABAE.=,U1J=,AEADACADYNBAC=NEAO=90。，ZBAE=ZCD,/.BAECAD,：.ZABE=N

14、ASVZBEC=180o-(NCBE+NBCE)=180。-(ZCB+ZABE+ZBCE)=180o-(ZCBA+ZACD+ZBCE)=90,：.BE1CE,在RsBC。中，BC=28=4, BD=BC2+CD2=42+22=25，：AC1BDi c11 SABcd=AC-BD=BCAC,22*AC=AE=-y/，AD-y/s,55AF=-,CE=2CF=2yAC2-AF2=,55ABE=BC2-CE2=y.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解.5.（1）尝试探究：如图，在ABC中，NACB=90。，NA=30。，点、尸分别是边BC、AC上的点，且EFAB.的值为；BE直线AF与直线BE的位置关系为；（2）类比延伸：如图，若将图中的ACE/绕点