空间几何体的表面积与体积8大题型.docx

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1、设圆柱高为人则,h=R-r,KK15.（2023秋河北保定高三统考期末）已知三棱锥。-AAC的所有棱长均为2,以BD为直径的球面与ABC的交线为1,则交线1的长度为（）C26,9【答案】A【解析】取8。的中点为。，所以。为球心，过。作力/平面ABC于点尸，即尸为-ABC的中心，延长M交所以M交AC于点E,则E为AC的中所以5=gBE=g=6,D尸二屈口=取*的中点一连接0一OOJIDF则。口平面ABC,因为BEU平面ABC,即。OJBE,且Oa=加=,FO=gBFTQF=+FO；=-1,所以尸为以8。为直径的球面上一点，分别取ABWC的中点M,N,连接。MQN,=OZV=-DC=I2所以M,N

2、也为以3。为直径的球面上一点,则*MN为等边三角形，SMN的外接圆即为四边形BMFN的外接圆，阳为外接圆的半径，所以NMqN=2NM6N=120。，所以以BD为直径的球面与一mC的交线1长为18MN外接圆周长的g,所以1=g2兀=率.故选：A.16（2023春湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习衽四面体SC中,PAYAB,PA1AC,ZBAC=120o1AB=AC=AP=2,则该四面体的外接球的表面积为（）A.12B,16C,18D.20【答案】D【解析】因为43,PA1AC,BAC=A,A8,ACu平面A6C,所以4_1平面ABC.设底面用C的外心为G,外接球的球心为。，则OGJ平面ABC,所以

3、PA/0G.设。为总的中点，因为OP=OA,所以以_1PA.因为E4_1平面ABC,AGU平面ABC,所以尸A_1AG,所以8AG.因此四边形。AG为平行四边形，所以OG=40=TA=1因为ZBAC=I20。，AB=AC=2t所以BC=AB2+AC2-2ABACcosZBAC=4+4-222-j=23,+-rc2m/曰2AG=窄=4=AG=2由正弦定理，得2所以该外接球的半径R满足R2=(OG)2(AG)2=5,故该外接球的表面积为S=4M?=20兀.故选:D.17.（2023.贵州毕节统考一模）正方体48。-ABeA的棱长为近，点M为Aq的中点，一只蚂蚁从历点出发，沿着正方体表面爬行,每个面

4、只经过一次，最后回到M点.若在爬行过程中任意时刻停下来的点与例点的连线都与AG垂直,则爬行的总路程为（）A.62B.6C.33D.3【答案】B【解析】由题意可知蚂蚁从M点出发，沿着与AG垂直的正方体45CQ-9C的截面爬行,回到M点，设E,F,G,H,P为BRBC,CD,DR,DA的中点,连接ME,EF,FG,GH,HP,PM,连接4。,贝JPH4ADP”=gA。,而AMDG,AxM=DG,即四边形AMGo为平行四边形,故A。MG,AyD=MG,所以PHMG,PH=；MG,故四边形ZWGM为梯形，则延长MP,GH必交于一点，设为N,则MP,G确定一平面，设为。，同理可证MPE”,GFEH、:.

5、GFMP,而G,故WUa,同理可证所u,MEu,即和瓦尸6”,尸共面该平面即为。；又AA1_1平面A1B1C1D1,PMU平面AAGA,故AA_1PM,而AA1AG=A，AAAGU平面AAG,故PMJ_平面AAIe,AGU平面AA1C,故PM1AG,同理可证P1AG,而PMPH=P,PM,PHua,故ACJ,即平面a即为过点M和AG垂直的平面,则蚂蚁沿着ME,EF,FG,GH,HP,PM爬行,由题意可得ME=EF=FG=GH=HP=PM=J（+吟）2=1，故爬行的总路程为6,故选：B18.（2023广东深圳统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛所以卜即vd5）故选：A19.（20

6、23湖南模拟预测）在三棱锥A-BCD中，ABX平面BCD,BCCD,CD=2AB=2BC=4,则三棱锥A-8C。的外接球的表面积与三棱锥4-88的体积之比为()A.B.yC.2D.9【答案】D【解析】取A。的中点。,连接。丛0。，因为AB1面8C。，BDU面BCD,CDu面BCD,所以皿BDAB_18,所以OB=QA=OZ),所以Bd=QbCcd)=回,ad=ab2+bd2=4+20=26,因为CZ)_1BC,A8c8C=氏A8U面ABcBCU面ABC,所以8_1面四。，又因为ACU面ABC,所以8_1eA,所以OC=OtA=QD,所以OA=OB=OC=#,所以。为三棱锥A-BCQ的外接球的圆

7、心,半径/?=#,所以球的表面积为S=4兀叱=24,111Q三棱锥4一88的体积为V=5SBmA8=Xax242=3,S_24ji_q故厂T=故选：D320.(2023安徽合肥统考一模)已知正方体ABa)-A4CA的棱长为4,M,N分别是侧面S和侧面8G的中心，过点M的平面与直线NO垂直，平面”截正方体AC所得的截面记为S,则S的面积为()A.53B,46C,76D,96【答案】C【解析】正方体ABCZ)-A4CQ的棱长为4,建立如图所示的空间直角坐标系，侧面CR的中心M(0,2,2),侧面SG的中心MZ4,2),而D(0,0,0),有ON=(2,4,2),显然点M在平面。与平面CORG的交线

8、上,设P(OJT)为这条交线上任意一点，MP=(0,y1-2,z1-2)r而N3_1平面,贝JPON=4(y-2)+2(z-2)=0,即2y+z=6,令Z1O,得点尸(0,3,0),令14,得点G(Oj4),连尸G,平面与平面A8C。必相交，设Qa，y，。)为这条交线上任意一点，FQ=(X,y-3,0),由R0=2x+4(y-3)=,即+2y=6,令x=4,得点4,1,0),连庄，因为平面ABCQ/平面A3CQ,则平面。与平面AaGA的交线过点G,与直线所平行,过G作G”/FE交AA于亿。,4),GH=(r,-1,0),FE=(4,-2,0)1由GH小得，=2,即(2,0,4),显然平面与平面

9、A阴A,AgA都相交，则平面。与直线AA相交，令交点为K(4,0m),EK=(OTm),由EKQN=T+2w=0得K(4,0,2),连接EK,K得截面五边形EFGUK,即截面S为五边形以P/7K,EF=FG=25GH=EK=EHK=2母,取Er中点2,2,0),连接G1,E,贝!Jg1=7=T,在右口Prh“口EK2+HK2-EH2i./“口15在EHK,cosZ.EKH=,snZEKH,H.T2EKHK55EHK的面积S即K=3EKHKsmNEKH=$国20警=G1力e+-，GF2+1F2-G1?1.C26在二FG1中，cos/.GF1=,sm/.GF1=,46访，HT2GF1F5546FG1边F1上的高h=FGsinZGF1=梯形EFGH面积SEFGH=；(GH+FE)h=；(小+2小)所以S的面积为S=SMK+S,=7.故选：C