第07讲 锐角的三角比（解析版）.docx

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1、第07讲锐角的三角比【知识梳理】一.锐角三角函数的定义在Rt八BC中，ZC=90o.(1)正弦：我们把锐角人的对边Q与斜边C的比叫做N八的正弦，记作Sig.即SinA=N八的对边除以斜边=*(2)余弦：锐角人的邻边b与斜边C的比叫做N八的余弦，记作cos4即CoSA=N八的邻边除以斜边=p(3)正切：锐角人的对边Q与邻边b的比叫做N八的正切，记作tan4即taM=4的对边除以4的邻边=p(4)三角函数：锐角人的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.二.特殊角的三角函数值(1)特指30、45。、60角的各种三角函数值.sin30o=，cos30o=空；tan30o=孚sin45o=孝；s45

2、o=孝；tan45o=1；sin60o=苧；cos60o=，tan60o=V3；(2)应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.(3)特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.生【考点剖析】一.锐角三角函数的定义(共5小题)1(2023春浦东新区校级期中)在Rt八BC中，NC=90,4B=5,47=4.下列四个选项，正确的是()3444A.ta=-TB.COtB=3C.SinB=ED.COSB=百4355【分析】根据勾股定理求出BC的长

3、，根据锐角三角函数的定义判断即可.【解答】解：如图，根据勾股定理得：BC=AB2-AC2=52-42=3,tanB=AC阮二W3CotB=5彳，tanB4.dAC4SInB=丽=+nBC3cos=AB=Sf故选：C,【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握CotB=焉是解题的关键.1C1TId2. （2023秋浦东新区校级期末）已知在Rt八BC中，ZC=90o,4B=5,AC=4f那么下列式子中正确的是（）4444A.si4=-B.COSA=三C.taA=-D.COtA=三5555【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义逐一判断即可.【解答】解：在Rt八BC

4、中，ZC=90o,4B=5,47=4,BC=Vab2-AC2=V52-42=3,.sin4=幽=旦，故人不符合题意；AB5COSA=E=匡，故B符合题意；AB5tan4=幽=旦，故C不符合题意；AC4COy=9=匹，故D不符合题意；BC3故选：B.【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.3. （2023秋崇明区期末）在RtZkABC中，ZC=90,AB=2,AC=If那么COSB的值是（）A.2ZB.返C.D.2222【分析】根据勾股定理求出BC的长，然后进行计算即可.【解答】解：在Rt八BC中，ZC=90,AB=2,AC=I,BC=ab2-ac

5、2=V22-12=M,.*.COSB=幽=返,AB2故选：B.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解题的关键.1 _4. （2023秋嘉定区期末）在八BC中，ZC=90o,CosB=4，BC=4,那么八B=16.【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.【解答】解：在八Be中，ZC=90o,CoSB=KBC=4,2TACBC4dr,48=砌=7=164故答案为：16.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键.ZC345. （2023秋宝山区期末）在RtZkABC中，ZC=90o,如果六=7那么SinA

6、的值是g.【分析】根据题意设八C=3k,则BC=4k,由勾股定理求出八B,再根据锐角三角函数的定义进行计算即可.ZC3【解答】解：由于在Rt八BC中，ZC=90,=BC4可设4C=3k,贝IJBC=4k,由勾股定理可得，AB=C2+BC2=Sk,.八BC4s3通=引4故答案为：【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键.6. （2023秋青浦区期末）在八BC中，ZC=90o,如果tanN八=2,AC=3,那么BC=6.【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可.【解答】解：在八BC中，ZC=90o，tanZ4=2,C=3,.,.BCACtanZA=3

7、2=6,故答案为：6.【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键.7. （2023秋浦东新区期末）如果在平面直角坐标系XOy中，点P的坐标为（3,4）,射线。P与X轴的正半轴所夹的角为,那么的余弦值等于旦.一5一【分析】画出图形，根据勾股定理求出。P,根据锐角三角函数的定义求出即可.AyX【解答】1解：过P作力，X轴于4VP（3,4）,.%=4,。八=3,由勾股定理得：OP=5,.,.的余弦值是空=a,OP5过答案为：1.5【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力.二.特殊角的三角函数值（共7小题）q8. （20

8、23春徐汇区校级期中）30的正切值等于一.3【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案.3【解答】解：30的正切值等于事.故答案为：正切.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.9. （2023秋杨浦区期末）计算：cos245o-tan30osin60o=0.【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.【解答】解：cos245-tan30osi60o=暮X暮=一2=，故答案为：0.【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.AC10. （2023秋黄浦区期末）在RtZ2BC中，ZC=90,如果一=一，那么NB=60.A

9、B2【分析】根据NB的正弦值即可判断.【解答】解：在Rt八BC中，ZC=90,如果些=包，AB2那么sin=笠=冬.*.Z=60o,故答案为：60.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的函数值是解题的关键.I1（2023秋松江区期末）已知SincC=近，那么锐角的度数是（）2A.30B.45C.60D.75【分析】根据sin600=近解答.2【解答】解：.sin600=1,24=60,故选：C.【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.12.（2023秋浦东新区校级期末）计算：3cot60+2sin45o=我&【分析】把特殊角的三角函数值代入进

10、行计算即可解答.【解答】解：3cot60o+2sin45o=3立-+2乂返32=M+近,故答案为：3+2【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.13（2023秋嘉定区期末）计算：tan60cot30一+/yic-o2cos60-1|cot45+2sn45【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.【解答】解：tan600fccot300+中.十?ICOS60-1|COt45+2sn45=M3Hy-1I1+2X与=32-1+1=3+2【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.14.（2023秋崇明区期末）计算:3tan3

11、0o+2cos45-2sin60ocot45.【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.【解答】解：3tan30o+2cos45-2sin60ocot45.=32Z+22Z-22Z1=V3+23【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.,人、一“一、fsin00+3tan300cos60015（2。21秋徐汇区期末）计算：-cog+”【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.arFKsin600+3tan300cos600【解答】解：1-。_2=321-21+33.3_TrT一3-13一3-13+3【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角

12、的三角函数值是解题的关键.4sin260o-2sin30o-cot45.以秋普陀区期末）计算：-3【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值.【解答】解：原式=4X（孚）2-2,-13-24-1-1t-23-1-1V3V2_13-2=V3+V2.【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.tan30oCC17.(2023秋黄浦区期末)计算：+cot245-sin245o.2cos30o【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.tan30orr【解答】解：+cot245o-sin2452cos30o岩+1-56,【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三

13、角函数值是解题的关键.CQTI45/18（2。21秋静安区期末）计算：Sf3。一JS。-1）2+2*.【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.tan45o/C【解答】解：Sf。一J=3。-1）2+2后45。112=F-1+2()f322_7二S【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.【过关检测】一、单选题1.如果及AABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角力的正弦、余弦值是（）A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的gC.没有变化D.不能确定【答案】C【分析】根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答.【详解】三角形各边长度都扩大为原来的3倍，

14、团得到的三角形与原三角形相似，国锐角A的大小不变，国锐角/的正弦、余弦值不变，故选：C.【点睛】三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化.2. RtABC中，ZC=90,下列关系中正确的是（）Aa1aAbbA.tanA=B.tanA=C.tanA=D.tanA=cbca【答案】B【分析】根据直角三角形中正切值的求法直接可得出答案.设，A的对边为。，-5的对应边为b,ZC的对应边为c,由题意可得:.BCatanA=ACb故选B.【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的求法是解题的关键.【答案】B【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出国ABD为等腰直角三角形，再根据45。角的cos值即可得出答案.作AD垂直BC的延长线于点D