(人教A版必修第一册)2.2基本不等式-(教师版).docx

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1、基本不等式知识剖析1基本不等式若Q0,b0,则Q+b2VaF（当且仅当Q=b时，等号成立）. 手叫做正数Q力的算术平均数，F叫做正数Q力的几何平均数. 基本不等式的几何证明E（当点。重合，即Q=5时，取到等号）运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是Q0为0；二定指的是好是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2基本不等式及其变形1 21Vab，（当且仅当Q=b时等号成立）-I-Z7ZQ+5N（调和均值几何均值算术均值平方均值）以上不等式把常见的二元关系（倒数和，乘积，和，平方和）联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.a+b2F,积定求和；QbG1g，和定求积：+（联系了

2、q+5与平方和M+办2）ab平（联系了她与平方和M+的3对勾函数概念形如丫=%+三（。0）的函数.图像性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当o%时，函数递增.与基本不等式的关系由图很明显得知当%。时，X=时取到最小值%n讥=2,其与基本不等式+三2=2（%=H时取到最小值）是一致的.经典例题【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1一正：0fb0求函数y=%+（%0/0的前提条件!X【正解】V%0,-0,X.一支+2Jr.（_：）=2（当=-1取到等号）%+%=-（X-2,XXj故函数y=%+：（%1）的最值.【误解】y=%+W2W【误解分析】套用基本不等式=%为=,满足*b均

3、为正数，但是最后求不出最值，因为帅=%x-1X-I不是一定值.【正解】y=%+=x-1+12J（%一1）.+1=3.（当=2时取到等号）（通过凑项得到定值“（DW=1）故函数y=%+（%1）的最小值为2,没有最大值.情况3三等：取到等号求函数y=舞的最值.【误解】V=益=贵=夜E+22jE普=2,即最小值为2.【误解分析】在误解中把。=7不1/=一，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若Q=上Vx2+4则yr不I=W=-3显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明+X2+4=2,那它有最小值么？X2+4【正解】y=福=舒=Ra+,令1=而4，贝狂2,因为对勾函数y=t+在2,+8）上单调

4、递增，当t=2时，取得最小值|.故y=高的最小值为1,无最大值【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1直接法【典题1】设%0、y0z0,则三个数1+4y；+4z1+4%（）A.都大于4B.至少有一个大于4C.至少有一个不小于4D.至少有一个不大于4【解析】假设三个数1+4y4且（+4z4且，+4%4,相加得：-+4%+4y+-+4z1+4%至少有一个不小于4.故选：C.【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.【典题2设0,y0,下列不等式中等号能成立的有()(%+:)4；(+y)(j+2)4；:4；+y+-T=4；x2

5、+5xyA.1个B.2个C.3个D.4个【解析】0,y0,%+工2,y+工2,当=y=1时取到=，所以成立，Xy(%+y)G+3=2+j+(4,当=y时取至=，显然成立，等粤=GTI+白，运用基本不等式不能取等号，此时/+5=4,显然不成立，%+y+言2yxy+言4,当-y-1时成立，故正确的有三个，故选：C.【点拨】直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当tb连等问题本题中+y+三2Jxy+24,当-y-1时成立，xyvxy这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到，X+y2是当=y时取到等号，2yxy+-4是当%y=1

6、时取到等号，即要同时满足方程组(*)才行，而方程组(*)有解=y=1,即+y+三4是成立的，当=y=1取到等号.再看一例子：设%,yR*,%+y=1,求(+；)的最小值.误解1：,%+-2,y+,2,+J(y+4.以上两种解法问题在哪里呢？【典题3已知实数,b满足的0,则号-义的最大值为a+ba+2b【解析】-*；=吃W=T=Q=*(分子、分母均为二次项同除好)a+ba+2b(+b)(+2b)a2+3ab+2b2-+3ba.abO.+-22,当且仅当三=-a=b时取等号，baba=322,故最大值为322.ba【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如黑与士EXb

7、言之类的方法2凑项法【典题1】若%1,则函数y=4%+的最小值为.【解析】y=4%+=4(%-1)+424+4=8,当且仅当=三时取等号.,函数y=4%+J的最小值为8.【点拨】把4%凑项成4(%-1),目的是使得4(%-1)与工的乘积为定值.【典题2】若x1,贝12%+三+二的最小值是分析：2%、三、三三项都不能乘积为定值，而与三、二7乘积为定值的分别是+1与x+1x-1x+1x-1%-1,而它们的和刚好是2%,故想到令2%=(%+1)+(%-1),完成凑项.【解析】2xH-I=%+1H-1-%1H2(%+)勺；+2/(%1)()8x+1x-1x+1x-19J(x+1)y/JvX-I7当且仅

8、当+1=3,X1=1,即=2时取等号，(用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号)故2%HH)的最小值是8.【典题3设Qb0,贝IJab+4+9的最小值是.bbia-b)【解析】Vh0a-&0；41*C1bHy+7rrb2b(ab)=ab-b2+导用+b2+(这里巧妙地”接+力2”完成凑项)bgb)b=Mai)+S+户+争2jb(-6+2/23=2+4=6.当且即当b(Qb)=而二且八=当即Q=当=时取等号，7IaUjbN41,Cib2z一转的最小值为6.bbia-b)【点拨】凑项的目的是使得“为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到本康的分母之和”b(一b)=ab,刚好是所求式子的第三项a

9、b.方法3凑系数【典题1】若05贝b(12a)的最大值是【解析】0a。且1-2a0,则(1-2a)=2a(12a)I(2+Q2当且仅当2q=1-2a,即Q=，寸等号成立，即Q(I-2a)的最大值为:2【点拨】基本不等式的变形帅(手)，和定求积(若Q+b为定值，可求好的最值).本题中Q+(1-2)不是定值，故通过凑系数，使得2+(1-2a)=1为定值从而求出最值.本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.【典题2】已知Qk为正数，4a2+b2=7f贝b它的最大值为.【解析】因为4/+接=7,则TT=T(2)iTTX37+(严P=.X=2,(这里用到了不等式b二竺，遇到二次根式可利用平

10、方去掉根号)当且仅当4M=+b2时，取得最大值.【点拨】 不等式b把时，小+房两者联系在一起，知和小+所为定值，可求积好的最值. 平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.2a+bIq2-I-/)2y-j-Vab-(当且仅当Q=b时等号成立)a+b方法4巧“1”法【典题1已知%O,y0,%+y=2,则+后的最大值是.【解析】/+12xfy+12y(当-y-1时取到等号)(加力”巧妙的把与SE,y与后联系起来)相加得+y+22x+2y即2(7+后)4y+后2,故最大值为2.【典题2已知%0,y0,且：+?=2,贝J%+2y的最小值是.【解

11、析】一+工=2.1G+9=Xy2xyjx+2y=(x+2y)1=(%+2y)(+i)=(2+2)(4+2j)=4,当且仅当?二竺时，即=2,y=1时等号成立，yX故+2y的最小值为4.【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧“1“法最简洁了！【典题3】设2,b。，若+b=3,则三+拍最小值为【解析】若Q+b=3,则(Q-2)+Z?曰1,(凑项再利用巧1”法)则三+1=（W+x（Q2）+0=2+（+等）,又由21b0,则上+等2?=2,当a=,5=：时取到等号,a-2bya-2b22则+：=2+（+-）4,即;+:的最小值为4.a-2bv-2b/a-2b方法5换元法【典题1】若，1贝

12、八K的最大值为.【解析】令则=t+1,t0,而+ttI-I1厚式=5=方=i1=己,（t+1）2+（t+1）-1t2+3t+1t+32房+35当且仅当t=1即=2时等号成立.故y=2：1的最大值为xz+x-15【点拨】本题是属于求函数y=：；：；：；的最值问题,它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.【典题1】若,br*,a+b=1,则J+Jb+1的最大值.【解析】设S=J7ft=J+,（遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的）则Q=s2-,b=t222a+b=1s2+t2=2（这相当已知s2+产=2求S+t的最大值，想到算术均值平方和均值手FI可）,W巨!=s+t2即Ja+1+Jb+B-2,故最大值为2.【点拨】本题本来是“已知a+b=求j+FTI的最大值（1）”，通过换元法后变成“已知s2+/=2求S+t的最大值（2n显然问题（2）比问题看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路.本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力!【典题2】设a、b是正实数，且q+2b=2,则与+萼7的最小值是,a+12b+1【解析】令Q+1=s,2b+1=t,则Q=s-1,2b=t1；由题意得S,t为正实数，且S1+t1=2s+t=4;./+W=*