(人教A版选择性必修第二、三册)专题2求数列的前n项和-(教师版).docx

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1、求数列的前Ti项和模块导图公式法/z*倒序相加（乘）法求数列的前n项和分组求和法错位相减法裂项相消法知识剖析求数列的前几项和土是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加（乘）法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结.【方法一】公式法若已知数列是等差或等比数列，求其前T1项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下等差数列求和公式SrI=迎誓=na+的尸2弓na1,q=1(2)等比数列求和公式SrI=1(1-Q-)1I-Q(3) 12+22+32+n2ncn+12n+2(4

2、) 13+23+33+/=.【典题1求和式3+6+12+32n-2,先思考它是几项之和再求和.【解析】和式3+6+12+32V相当于数列3、6、12、32九-的和，显然它是首项的=3,公比q=2的等比数列，设前几项和为上,故0=a1-qn1=3-2n1,而和式最后一项是3-2n2=Q71T,是第Ti-1项，故和式3+6+12+-+3-2九一2只有九1项而已，则3+6+12+-+3-2n-2(切勿想当然和式等于)=SX=仁詈I=岑R3【点拨】求和式时特别要注意确定项数，以第一个数为首项，判断最后一项为第几项(第九项、第九-1项？)便可.【典题2】已知等比数列册前几项和为工,且Sr=r+1N*)(

3、I)求数列ar的通项公式；(2)若如=1og?。九，求数列g的前几项和加.【解析】(1)由于Sr1=n+1,当n=1时，Si=的一点n。2=的十条当九2时，Sn.1=an-，一得=an+1an,即r+=2an(n2)数列%J为等比数列，a2=21,Xa2=QI+点,解得Q1=M故数列%J是以或为首项，2为公比的等比数列，所以册=2九一6.(2)g=Iog2an=n-6,所以=；_：，(遇到绝对值，则可利用=xx*去掉绝对值，则求前T1项和Tr1时要注意分类讨论)I-X%U当Ti-b2bn=-(+2T卜bn)1,n(n-1)1n()2知0是等差数列,公差dW0,a1=1,且Q1,c,的成等比数列

4、，求数列2。的前几项和先.【答案】Sn=2n+1-2【解析】数列%1是等差数列,公差d0,a1=1,且Q1Q3,。9成等比数列，.(1+2d)2=1(1+8d),解得d=1或d=0(舍)，-11n11n-n2一5九+=-=(bn=n-6是等差数列，可由前建项和公式SrI=na1+Kgd得名+砥=号与当九6时，Tn=-b1。5+坛T卜bn(.b1+fe2卜bn)2(fe14卜&5)n2-11nQ、,52-115幺X【点拨】当确保数列为等差数列或等比数列，便可直接使用对应的前几项和公式，这需要明确等差数列通项公式形如的1=kn+b,等比数列通项公式形如的1=A-Bn.巩固练习1()求和式1+4+7

5、+(3n+1).【答案吟U【解析】1+4+7+(3几+1)=3岛”2.an=a1+(n1)d=n,.2an=2n,数歹U2。叮是首项为2,公比为2的等比数列，.,2(12-)_Jn12乙乙()已知等差数列%1前三项的和为一3,前三项的积为15,7n2n2/n0,求数列r的前几项和勒【答案】(1)an=4九一9或Q九=74n(2)Tn=【解析】由%,+。2+。3=-3,得3d-3,所以g-1，T7Y1，曰Y1FIrI(Q1+d-1又。逆2。3=15符。避3=15,即%(%+2d)=-15,所以建r或建m即Qr1=4n一9或Qr1=74九N*；(2)当公差d0时，r=4九一9,1)当n2时，an=

6、4n-91,q=2,故数列%1的通项为册=2n-1.(2)由于，IZziC1gn+i,九=1，2,由(1)得。3九+1=23n,bn=1n23n=3Z2,又bn+-bn=3仇2为常数，%为等差数列，7,7,7n(b1+br)n(3Zn2+3nZn2)3n(n+1)Zn2Tn=b1+b2+bn=-=5【方法二】倒序相加(乘)法1对于某个数列0,若满足Q1+an=a2+n-1=ak+an.k+1,则求前几项和SZ1可使用倒序相加法.具体解法：设S71=1+2+an.1+an把反序可得Sr1=an+n-1+g+由+得2S71=(Q1+an)+(2+-)+F(-1+2)+(+)=Sr=S:2对于某个数

7、列Qr,若满足的r=九-1=耿1-k+1，则求前几项积Tk可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法.【典题1】设/(%)=NP利用课本中推导等差数列前几项和的公式的方法，可求得/(3)+f(2)+f(O)+/(3)+f(4)的值为.【解析】设+b=1,mr,、I一心111_4b11_4b11_4b+2_1则Q)+b)=宿+际=港7声+壶石=+际=砺万=5所以f(-3)+f(4)=1,/(-2)+/(3)=,/(-1)+/(2)=/(0)+/(1)=,/(-3)+/(-2)+/(O)+/+/(4)=4x1=2.【点拨】课本中推导等差数列前几项和的公式的方法就是倒序相加法.【典题2求S讥21。+S

8、in22o+sin23+sin288o+sin289。的值【解析】设S=sin21o+sin22o+sin234卜sin288o+sin289o将式右边反序得S=sin289o+sin288oHFsin23o+sin22o+sin21o+得2S=(S讥2o+sin289o)+(sin22o+sin288o)+(sin289o+sin21o)=(sin21o+cos21o)+(sin22o+cos22o)HF(sin289o+cos289o)=89S=44.5.【点拨】对于某个数列%1,若满足的+an=a2+n.1=以+an.k+1,则可使用倒序相加法.【典题3】设函数f(%)=的图象上两点尸式

9、/，%)、P2(%2/2)，若而=南+西)，且点尸的横坐标为求证：尸点的纵坐标为定值，并求出这个定值；(2)求Sn=FG)+黑)+八等)+死).【解析】证：9=)西+西)，尸是PiB的中点nx1+x2=、,、2%i12犯2%i121丹=5(y+y)=-(2)解:由(I)知/+亚=1，f(%1)+f(%2)=丫1+丫2=1f(1)=2-2,(即横坐标之和为I,则对应的坐标之和为I,则有fQ+f(?)=/(；)+f(1)=1,想到倒序相加法)由%=)+f(?)+f),s=nj+/()+/+/(9相加得2Sn=/+)+”?)+詈)+/(?)+/(+/，=2/(1)+九一1x2%i12Z13z13z2

10、/(%1)/(%2)2+222+22221-222222-,=ri+322,r,71+32V2Sn=.巩固练习1()设等差数列%,公差为d,求证：时的前TI项和STI=丝号迦.【解析】Sn=Q1+。2+。3+Qn倒序得：Sn=an+C1n-I+an-2+Qi+得：2Sn=(1+an)+(2+Qr1-I)+(c+an-2)HG+Q1)3*Q1+QTI=02+=Q3+QTI-2=Q九+Q.*.2Sn=TI(Q1+an)=Sn=4。；。71).!()设f(%)=(%1)3+1,求/(4)+f(0)+f(5)+f(6)的值为.【答案】U【解析】用倒序相加法：令/(-4)+/(-3)+/(0)+”5)+

11、/(6)=S则也有f(6)+/+/(0)+/(-3)+/(-4)=S33由f(%)+f(2%)=(%1)+1+(%1)+1=2可得：“4)+/=f(3)+/(5)=2，于是由两式相加得2S=11X2,所以S=I1；3(*)设函数%)=备，求f(1)+f(2)+)+f(3)+f)+/(4)+f(3的值.7【答案】5【解析】函数%)=希区，1/(%)+/)=己+生=己+嘉=1，X2./+/(2)+/+/(4)+/(I)=f+1+1+1=击+3=(【方法三】分组求和法1若数列4中通项公式4=Qri+g，可分成两个数列%,%之和，则数列的前几项和等于两个数列%J,%的前几项和的和.2常见的是4=等差+

12、等比形式an=2+221,求数列的前几项和/等比数列等差数列Sn=a1+a2+a3-IFn_1+an写出前三项后二项=(21+1)+(22+2)+(23+3)+(2n-1+n-1)+(2n+n)保存每项原始数值=(21+22+2n)+(1+2+n)等比项等差项分组_2r+1_2+71S+1)一2公式法求和3等比数列的通项公式形如%=比+b,等差数列的通项公式形如%=Z-8几【典题1】求数列3九+2n-1的前几项和.【解析】设时=3九+2九-1,(其中可知数列3玛是等比数列，数列2z-1是等差数列)贝USr1=QI+Qn=(31+1)+(32+3)+(33+5)+(3n+2n-1)(把等比项和等差项分别放在一组)=(31+32+33+3n)+(1+3+5+2n-1)(确定好首项和公差、公比)3(1-3n),(1+2n-1)n=