(人教A版选择性必修第二、三册)专题1分类讨论含参函数的单调性-(教师版).docx

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1、分类讨论含参函数的单调性模块导图导数与函数单调性的关系1导数与函数单调性的关系在某个区间()内，若f(%)0,则函数y=f(%)在这个区间内单调递增;若(%)1%-10,则y=(%)的正负性等价于y=-kx+/c+1(%1)的正负性)(判断y=kx+/c+1的函数类型，分k=。和Zc0)(1)当Zc=O时，/(%)=30,/(%)在(1,+8)上递增；(2)当kO时，令/(%)=0,解得=(+1，(一次函数y=-依+k+1的斜率-左正数还是负数会影响导函数的正负性，分k0讨论；同时注意零点=(+1与定义域端点1的比较，结合图像就容易理解)当c0时，=*+10,f(%)递增；当k0时，屋+11,

2、y=尸(W)在(11+1)上，f,M0,%)递增；在弓+1,+8)上，z(%)0时，/(%)在(11+1)上递增，/(%)在总+1,+8)上递减.【点拨】本题分类讨论的思考：(确定函数类型Zc=00“一次函数”型要注意的是：是否一次函数，直线斜率大于0还是小于0,函数零点与定义域端点的大小!本题对于导函数/(%)=7-k的分类讨论k=0,k0,您还可以有两个角度：从代数角度，1nO,贝UO时广(%)O,而kO时/(%)有零点；X-I/(%)=Ft人看成分式函数y=上下平移得到，贝必0时图象与轴相离且/(%)0,而/c0时与轴相交，即/(%)有零点.故分类的角度可以多样的，要灵活处理.巩固练习1

3、 ()求函数f(%)=的单调区间.【答案】若k=3/(%)在R上为增函数；若k0,则/(%)在(8,上为减函数，在(%+8)上为增函数；若C0时，当/一(时，尸(%)泄，jf(%)0,/(%)递增；当Zc0,/(%)递增；当/V，时，,(x)0,则/(%)在(-8,-上为减函数，在(_匕+8)上为增函数;若k0时，/(%)在0,品递减，在冷+8)递增.【解析】函数的定义域为。+8),f()=应+景=费/，由f(%)=。得=(考虑三是否落在导函数广(%)的定义域0,+8)内，需对参数的取值分Q0及Q0两种情况进行讨论)(1)当0时，则/(%)0在0,+8)上恒成立，所以f(%)的单调递增区间为0

4、,+8).(2)当0时，由广(%)0,得%:；由/(%)0,得0%0时，f(%)的单调递减区间为0，S，f(%)的单调递增区间为g,+8).综上所述当Q0时，/(%)在0,+8)递增；当Q0时，/(%)在0,递减，在覃+8)递增.3 ()求函数f(%)=Inx%的单调区间.【答案】若0时，/(%)在(0,+8)上递增；若a0时，/(%)在0%(递减.【解析】/(%)=工Q=马龙；(求导后通分)XX,.(%)=Inx-a%的定义域是(0,+8),/(%)=一。：与y=-ax+1的符号是一致的.(那我们只需要y=ax+1在各区间符号问题，注意数形结合)(1)若Q=0时，/(%)=仇%在(0,+8)

5、上递增；(判断y=-ax+1的函数类型)(2)若Q0时，令/(%)=0,得=(；若0时，,(x)0,f(%)莓增；若。0时,当OV%0,f(%)递增;当工工时,(x)。时，/(%)在0VXV1上递增，/(%)在%5递减.(该题把导函数尸(%)=1-。看成反比例函数/(%)=：-a(a0)的图像进行更容易些)【题型三】“二次函数嚏【情况1】讨论开口方向已知函数f(%)=pInx+(p-1)x2+1,当P。时，讨论函数f(%)的单调性.【解析】/(%)的定义域为(0,+8),(4+2(p-1)%=(因为%0,所以y=广(%)的正负性等价于2(p-I)/+p的正负性；先确定函数类型，分P=I和PH1

6、)(1)若P=1时，/(%)=|0,故/(%)在(0,+8)单调递增;(2)若PW1时,(抛物线的开口方向会影响导函数的正负性，分P1和Op1时，,(x)0,故f(%)在(0,+8)单调递增;若Op1时,令/(%)=0,解得=人p),/K7O1jE则当%0,/(%)递增；当久Jw”/(%)0,f(%)递减综上所述当pi时，f(%)在(0,+8)单调递增；当op0,p1时有零点，分P1和P0讨论)(1)0,即2q0时，尸(%)O,/(%)在R上递增;(2)若0,即Q0时,令尸（%）=0,解得/=上步羽或%2=4尸。其中2%1，当%1%2时，/(%)%2或久0，f(%)递增.综上所述，当-20时，

7、/（%）在R上递增;当Q0时，f(%)在(：-42+8-+42+8.：）上递减,在(-8-42+82，（-+42+82,+8）递增.【点拨】对于“二次函数”型，求导后要思考下能否可以因式分解，若不能，则对判别式进行讨论，确定导函数零点存在情况!【情况3】讨论零点大小求函数/（%）=%-?一（+2）%的单调区间.【解析】f（%）的定义域为（0,+8）尸(%)=1+要a+2_x2-(+2)x+2_(x-2)(x-)（求导后通分、因式分解，确保有零点存在）令/(%)0，得%=2,x2=a,（对导函数零点2、Q与定义域端点0三者比较大小，先比较。与0的大小，分0和q0）当0%2时，,(x)2时，,(x

8、)0,f(%)递增;(2)若QCO时,(判断导函数零点2、Q的大小，分Q=2、Q2、Q2三种情况)若Q=2时，/(%)=(%-2)20,/(%)递增；(不要遗忘零点相等的情况)当0%q时，,(x)0,/(%)递增；当2%0时，,(x)O,f(%)递减;若02时,(x)0,/(%)递增；当QV%V2时，,(x)0,/(%)递减.综上所述当2时，/(%)递增区间为(0,2)或(,+8),久支)递减区间为(2,a)；当0qV2时，/(%)递增区间为(0,a)或(2,+8),/(%)递减区间(o,2).【点拨】求导后能够因式分解，说明导函数存在零点；若函数存在零点，需要注意零点的大小比较，并且零点是否在定义域范围内，结合图象会更容易得到分类讨论的标准！【综合题型】讨论f(%)=-Inx+q%+9+1的单调性.【解析】y=/(%)的定义域为(0,+8),(注意函数的定义域)尸(%)=+Q觉=二手W=T产