七八章习题详解.docx

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1、习题七(A)1、设总体X服从参数为N和P的二项分布，*1，*24：*“为取自X的一个样本，试求参数p的矩估计量与极大似然估计量.解：由题意，X的分布律为：P(X=Q=pk(1-p)N-Ok0,/(%；%)=10,x0其中20是未知参数，a0是已知常数,求X的最大似然估计.解：设玉,为样本XX2,，X的一组观测值，则似然函数1-却nan(xiy-1eT9x.0z=1O9其他取对数In1=几InX+zz1na+(-1)(E1nXZ)/(%：)z=1z=1HnJn几解极大似然方程-=nT-Yx-=Od八T1得2的极大似然估计值为2=-z=1AF7从而得2的极大似然估计量为2=-.;Z=I4、设总体X

2、服从几何分布p（x=k）=JP（I01,左=1,2,OP，bO为未知2参数，X1,X2,Xn为总体X的一样本,求参数的最大似然估计.解：设玉,，为样本X1，X2,，X的一组观测值，则似然函数为1n1（XI,%2,，%；。）=/（再；。）-f（Z；b）=7TreXp玉1（2）Z=I取对数In1（XI,W，Z；Cr）=TIn（2。）一丁耳|七Iz1nf11n解极大似然方程=-+-y=OdZ=I1n得G的极大似然估计值6=I%In.1n从而得的极大似然估计量为6=IXJ.HZ=I6、证明第5题中。的最大似然估计量为。的无偏估计量.证明：由第5题知。的最大似然估计量为3=工之IX,I几Z=I故M=吗M

3、若I又|Xj1=匚xexp-J2xexp-J()=-xexp-J0-exp-(fr=Jo从而E8=,即万是。的无偏估计.f7,、设总体X的概率密度为f(x2)=e,XU,200,其它.为未知参数，x,x2,x.为总体X的一个样本,求参数2的的矩估计量和最大似然估计量.解：因石X二j+cX/(x;2)dx=2xe22dx=Xd(JM)=-2xe0-2edx21用公=2心.看广=后b_1用X替换石X即得未知参数的矩估计量为S=-r=Xy2设玉,，为样本Xi，X2，X的一组观测值，则似然函数为几“王(32)1(X1E2,；/)=/(再;bj)b2)=q2fc4CT取对数1n1=1nxz.-n1n2-

4、iJxz2Z=I3Z=I解极大似然方程J1n1n12rA丁=7+7/%；=。d222cr4tr11n得。2的极大似然估计值I?=一%；2nz=177从而得未知参数2的估计量为S?=一；.2nZ=18、设总体XN(q2),已知，。为未知参数，X,2,X为X的一个样本，匹求参数C,使。为。的无偏估计.z=1A解：由无偏估计的定义，要使。为。的无偏估计，则石3=b又E3二5(CE1Xi-u)=cEXi-uz=1z=1由题意知总体XN(4q2),从而+81(%i)2EIX.-wI=JIX-WIe22dxy2(%-w)21(%-w)22c2dx+fx-u)-1e2cr2dxJMy2+1X-U=y一二(X

5、i).际e*K=。际edyCr+一J。由对称性有e2送d(EXi-u=从而有cn=,即C=也工y229、设力是参数夕的无偏估计量,且有。(击0,试证铲=9)2不是2的无偏估计量.证明：因为力是参数。的无偏估计量，故E0=,且。(。0有E2=E(0)2=。()+(E)2=D()+22即铲=(6)2不是6P的无偏估计量.10、设总体Xn(q2),X,X2,X3是来自X的样本，试证：估计量131=X+-X2+-X3151IO223认=X+(X3362Zi7=-X1-X2HXW23142123都是的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.证明：总体XN(q2),X1,X2,X3是来自X的样本，则13113

6、1E=E(-X.+-X9+-XJ=-EX1+-EX9+-EX.=u151102235110223E九=EdX1+-X?+XJ=-EX1+-EX.+-EX.=u产2v31421233142123E3=WX1+X2+X3)=EX1+EX2+EX3=u即估计量4,。2，念都是的无偏估计.又1311Q1D.=D(-X1+-X9+-XO=-DX1+DX.+-DX.=f511023251IOO2431ZT2Cr50D.=D(1X1+-X9+-XJ=-DX.+-DX9+-DX3=产2v3142123911621443252C72D认=D(-X1+-X9+-XJ=-DX1+-DX9+-DX3=13362393

7、64318cr2有QA2D认设X,X2,-X“是总体XN(O面)的一个样本。20,证1n明：一是人的相合估计量.Z=I证明：由题意，总体Xn(0,cf2),则EX=0,E2=b2由样本的独立同分布性知(-xz2)=-EX；=2,即，X；是S的无偏估计.几i=n曰n/=11n1n。璃X：)下”又D(X；)=EX；-(EX；)2,且2x2=3x2edx=3427Cjqo故D(X；)=EX：-(EXf)2=34e=2房,1JQ4有0(Xx：)=0(n)nz=扑1n故一x;是4的相合估计量nz=12、设总体X的数学期望为,方差为2,分别抽取容量为4和内的两个独立样本，X1,2分别为两样本均值，试证明：

8、如果涉满足+h=1,则Y=又1+又2是的无偏估计量，并确定，使得D(Y)最小.解：由题意，EX=u,DX=2,且耳，又2分别为容量为小和%的两个独立样本得样本均值，故成1=%=J,成2=，D宜2=%n2当a+b=1时，有EY=aEX1+bEX2=(+b)u=u,即Y=aX1+bX2是的无偏估计量._扇*DY=a2DX1+b2DX2=(+)c2nn1令g(Q)=4+&zQ,由g，=O知函数g()的稳定点为名%极小值点，即当=时，。（丫）最小.ni+n1ni+Yi113、设X,X2,X，是总体X的一个样本，X的概率密度为/（苍8）,。0,未知，已知/（2），试求夕的置信水平为10的置信区间.解：由

9、题意，统计量.2（2n）,则给定置信度为1-。时，有P产)T(2)daoP(-InX优(2)2X(2)=1-cf由置信区间的定义知，6的置信水平为1-。的置信区间为14、从大批彩色显像管中随机抽取100只，其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X服从正态分布.已知均方差b=40小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.解：设XX2,X，是母体X的样本容量为的子样，则显像管平均寿命又N(IOOOO,16)V-7/构造统计量U=N(0,1),有GP(UUa)=1-aP(X-Ua-=UX+Ua-)=1-a1-t1-1G1-1G由题意1=0.95na=0.05,查表可得U0

10、.975=196，故显像管平均寿命X的置信度为95%的置信区间为:4040(10000-1.96=,10000+1.96=)=(100007.84).110015、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差S=15(%),设投资的年利润率X服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为0.95).解：由题意构造统计量15F则给定置信水平为1有(-1)S222(-1)51-)=1K(D2取刃=26,S=O.15/一G=O.95,查表可得o,o25(25)=13.120,Zo.975(25)=40.616,故方差的置信度为95%的置信区间为16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14