专题06 函数图象的对称性（解析版）.docx

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1、专题06函数图象的对称性一、结论已知函数J(X)是定义在R上的函数.(1)若/(X+，)=/S-X)恒成立,则y=的图象关于直线X=对称,特别地，2若f(a+%)=f(a-X)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线X=Q对称；最常逆应用：若y=(%)关于X=Q对称：可得到如下结论中任意一个：fa+x)=fa-x) f(x)=f(2-x)；/(-x)=(2+x)周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.(2)若/(a+x)=/S)+g则尸/的图象关于点(审卷)对称.特别地,若f(a+x)=-f(a-x)+2b恒成立,则y=/的图象关于点(a,b)对称.特别地,若/(+X)=/(，1)恒成立,则y

2、=J(X)的图象关于点(。,0)对称.最常逆应用：若V=/(%)关于=Q对称：可得到如下结论中任意一个：f(a+x)=-f(a-x) f(x)=-f(2-x)f(-x)=-f(2+x)二、典型例题1. (2023四川雅安模拟预测(文)已知函数/(X)是定义域为R的奇函数，且/(x+1)是偶函数.当0(c)()【解析】44)是定义在R上的奇函数，可得到：/(T)=-/(九+1)=/(1+x)n/(九+2)=-/(%)联立得/(x+2)=f(-x)所以关于=1对称.由于/(x)在1,2上递增，所以/(%)在0递减.5.(2兀1.2c-sin=sin=sin,7I7J7y=Sin%在(0,/上递增，

3、所以ac(c)“故答案为：H(c)()【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，本例中，用数学符号/(-%)=-/(%)表示出/(%)是定义在R上的奇函数，通过化简x+1)=/(1+x)=(尤+2)=/(x)再联立，可得到：/(+2)=(-x)这样就得到了：/(%)关于x=1对称.这也是周期性，奇偶性，对称性常考的形式.解题时注意利用已知条件，尤其是对称性的逆应用.三、针对训练举一反三1. (2023黑龙江哈尔滨市第六中学校二模(理)已知定义域为R的函数/(同在2,+)单调递减，且4)+(x)=0,则使得不等式/(/+*+2力。成立的实数I的取

4、值范围是()A.-4x3C.11D.x1【答案】D【详解】解：/(4-x)+(x)=0,则/关于(2,0)对称,因为/(%)在2,+)单调递减，/(x)在R上单调递减，又/(2尤)=-7(4-2尤).f(x2+x)+f(2x)0(x2+x)-(4-2x)0,/(f+)4-2xx1x-4,故选：D.2. (2023宁夏六盘山高级中学一模(理)已知函数/是R上的满足/(1+x)=J1-%),且了(%)的图象关于点(1O)对称，当x0,1时，f(x)=2-2贝U/(O)+1)+/(2)+”2023)的值为()A.-2B.-1C.0D.1【答案】D【详解】/(1+)=(-1-)()=(-),又/(%)

5、关于(1O)对称,./(%+2)=-/(-X)=-/(X)=/(%+4)=-/(x+2)=/(X),./(%)的周期为4,由函数解析式及性质易知，/(0)=1,/(1)=0,”2)=1,A3)=0,/(0)+/(1)+/(2)+/(2023)=505(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(2023)+/(2023)=0+/(0)+/(1)=1故选：D.3. (2023全国二模(理)已知/(九)是定义域为火的奇函数，/(1+x)=(1-尤)，当0九1时，/(x)=-1,贝2x3时，/(%)的解析式为()A.f(x)=1-ex-2B./()=-2-1C.f(x)=1-ex-1D.f(x)=ex-

6、1-1【答案】A【详解】AX)是定义域为R的，所以/(-%)=-/(%),因为/(1+x)=/(1-x),所以/(X)的一条对称轴方程为X=1=E=1,当Ox1时，f(x)=ex-1,所以当一1xW0时，0-%1,/(-x)=e-1=-(x)所以/(X)=IjT,贝2x3时，一12-x0,所以/(2x)=1”3)=1_*2,即f()=1-ex-故选：A.4.(2023山东滨州一模)定义在区上的偶函数“满足2+九)=27),当了句2,0时，/(x)=x+2,设函数MX)=eTTj2x6)(。为自然对数的底数)，则/(x)与MX)的图象所有交点的横坐标之和为()A.5B.6C.7D.8【答案】D【

7、详解】因为4)满足2+%)=27),所以/(%)图象关于直线x=2对称，因为44)是R上的偶函数，所以4k)图象关于直线X=。对称，所以八4)的周期为4,MX)=e*Z(_2%6)的图象关于直线X=2对称,由xe-2,0时，/(x)=x+2,作出/(x)图象如图和MX)=e*ZQ2x6)的图象且X+羽=2+=?22所以七+%+又=8,所以x)与MX)的图象所有交点的横坐标之和为8,故选：D5. (2023河南二模(文)已知定义域为R的函数/(%)在2,+)单调递减，且/(4-x)+(x)=0,则使得不等式M+)+(+1)O成立的实数X的取值范围是()A.-3X1B.X3C.XV-3或x1D.x

8、-1【答案】C【详解】/(4-x)+(x)=0,则/3关于(2,0)对称,因为了在2,+)单调递减，所以/在R上单调递减，所以%+1)=/(3%),由/(炉+,+/(%+1)。得+%)/%)0,所以/(/+可3-%,解得x1或x0)在区间-4,4上有四个不同的根不，%，%3，%4，贝IJ1+的值为.【答案】-4【详解】解：/(%-2)=-/(%),.f(x-4)=-f(x-2)=f(x)f即函数的周期是4,且/(x2)=/=/(%),则函数的对称轴为：X=-I,“X)是奇函数，所以X=I也是对称轴，0,1时，/(x)=X2+x+sinx,函数是增函数，作出函数/(尤)的简图如下：若方程7(X)

9、=机。)在区间I，4上有四个不同的根4，元2，13，元4，则四个根分别关于=-3和X=1对称，不妨设，贝“$+=-6,x3+X4-2,贝I芯+%+%3+*4=-6+2=4,故答案为：-4.(2023江西上饶三模(理)已知函数/定义域为R,满足AX)=2-%),且对任【答案】(-8,0,+【详解】因为函数/(力满足/(X)=/(2-X),所以函数/(%)关于直线X=I对称，X1-X9八因为对任意1%,均有7（X）（X丁成立，所以函数/（X）在1+8）上单调递增.由对称性可知/（%）在（-,1上单调递减.因为1）3x）0,即/（2九一1）（3九）,所以|2x11闫3%1|,gp2x-22-x,故答案为:4（-,O,+