专题04 指数函数与对数函数互为反函数（解析版）.docx

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1、专题04指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数y=/()是定义在非空数集。上的单调函数，则存在反函数y=/-1(x).特别地,y=优与y=IogqX(0且1)互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于y=x对称，即(XO,/(%)与(/(),)分别在函数y=于3与反函数y=(%)的图象上.若方程X+/(%)=上的根为不，方程+T(x)=左的根为42，那么%+%2=左二、典型例题1若实数满足/+%2=0,实数满足InX+尤一2=0,贝J+=解析：同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于y=x对称，可知N=Q是函数y=靖和y=-+2交点的横坐标，同理X=5是函数y=Inx与

2、y=-x+2交点的横坐标,且y=-x+2与y=x垂直，作出图像如下Vnx=1,所以;v=q,X=关于X=I对称，所以+b=2y-X+2【反思】对于利用反函数解题问题，首先要判断题目中两个函数互为反函数，然后再重复利用结论：若方程X+/(X)=k的根为%,方程X+i(X)=k的根为X2,那么X+=攵可快速解题.2.设点尸为曲线G上的动点，。为曲线G上的动点，则称口0的最小值为曲线G，g之间的距离，记为：d(G,C2)若G：2y=0,。2：InX+1n2=y,则或。1,。?)=J(C1,C2)=解析：y=g和y=1n2x互为反函数，关于y=对称，设与y=x平行的直线乙，I?分XX别与y=5，y=1

3、n2x相切于点M,N,则d(C1,C2)=MN,由丁=了得ex1y=InX=In2,即M(In2,1),由y=1n2x得y=InX=1,即N(11n2),2X所以d(C,C2)=MN=J(ITn2)2+(In2-I/=2(1-1n2)【反思】反函数问题的重点就是图象关于y=x对称，这也是解题的关键，在利用反函数解题时，注意配图，在图象中寻找解题突破口，数形结合.三、针对训练举一反三1 .已知者是方程X+2*=4的根，%是方程+1。82%=4的根，贝IIX1+%=解析：x+2%=4,.2%=4%,./是y=2%与y=x+4交点的横坐标，又x+Iog2X=4,/.Iog2X=4-%是y=1og2x

4、与V=-1+4交点的横坐标.y二x又y=2与y=IogzX互为反函数，其图象关于y=x对称，由nx=2,.-y=-%+4X+X9/1 22=2n%+%=42 .已知凡是方程x+1gx=3的一个根，/方程x+1=3的一个根，则芯+9=解析：将已知的两个方程变形得IgX=x+3,10%=x+3.令：f(x)=1gx,g(%)=101z(%)=3-x,画出它们的图象，如图：r、厂MT7(T-J记函数/(x)=IgX与h(x)=3-的交点为A(X1，M),g(x)=IoX与z(x)=3-的图象的交点为B(X2,%)，由于/(x)=IgX与?(%)=1。”互为反函数，所以A(X1，M)与B(X2,乃)两

5、点关于直线y=x对称，由=%=J.%+%=j.二石+%3z(x)=+3222723 .已知函数/(x)=Ax,x-,g()=(J)2,若/，g(x)图象上分别存在点M,Nee关于直线y=对称，则实数的取值范围为()1232A.,cB.,2eC.,3eD.(,2e)eeee答案:B解析：g(x)=(1)1的反函数为y=-21nx,设(X加)，md,e,则点Af(X府)在eefr1,-F72Inmz、2InXr1Egy=-21nx上，即：Am=-21nm,k=，令机(X)=，x-,解得mXe22m(x)Ie,即：k=2%与丁=1082%互为反函数，它们的图象关于y=x对称，所以函数y=x与=5%的交点M为y=2与y=5一%交点和y=1og2%与y=5x交点的中点，如图:联立:y=5-%=J=X5X=2所以P+(2+2)=5=p+2q=3