专题12 半角模型（原卷版）.docx

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1、专题12半角模型半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90角包含着45角，120。角包含着60角，270角包含着135角，即出现共角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。基本模型：D90的半角模型（常考）已知正方形ABCD中，E,F分别是BC、CD上的点，ZEAF=45o,AE、AF分别与BD相交于点0、P,贝U：EF=BE+DFAE平分NBEF,AF平分NDFECACEF=2倍正方形边长d)SABE+SADF=SAEFAB=AG=AD(过点A作AG1EF,垂足为点G)(6)0P2=0B2+0D2若

2、点E为BC中点，则点F为CD三等分点AAP0sAAEFsADPFsABE0sADA0sABPAABEP四点共圆、AoFD四点共圆、OECFP五点共圆AAPE、AAOF为等腰直角三角形(11)EF=20P(12)Saef=2Sapo(13)AB2=BPOD(14)CECF=2BEDF(15)EPC为等腰三角形(16)PX=BX+DP(过点E作EX1BD,垂足为点X)证明:思路：延长CD到点M,使DM=BE,连接AM先根据已知条件AABEgAADM(SAS),由此可得AE=AM,ZBAE=ZDAM而NBAE+NFAD=45,所以NDAM+NFAD=45,可证明AAEFgAAMF(SAS),由此可得

3、EF=MF,而MF=DM+DF=BE+DF,因止匕EF=BE+DF思路：TAAEF2AAMF(SAS).*.ZAFM=ZAFE,ZAMF=ZaEF.AF平分NDFE又TNAMF=NAEB.*.ZAEB=ZAEfJAE平分NBEF思路：Ccef=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=(BE+EC)+(DF+FC)=BC+DC=2BC、思路：过点A作AG1EF,垂足为点G根据证明过程可知AFG=NAFD,ZAEB=ZAEG因止匕可以证明：AABE主AGE(AAS),AGF2AADF(AAS)所以AB=AG=AD,Saabe=Saage,Saagf=Saadf因为AAPD至ANB(AAS)所

4、以AN=AP,BN=DP,因为NADB=NABD=45,所以NNBo=90因为NBAE+国PAD=45。所以NNAB+NBAE=45。贝IJAANO兰APO(SAS)所以NO=OP在RtANBO中，由勾股定理可知：ON2=OB2+NB2思路：已知tanNEAB=If=1且NEAB+NFAD=45AB2JtanNFAD=-(“12345型”)，.,.DF:AD=1:3,Znab=Zpad,Zadp=ZabnBEC,贝IJOP2=OB2+OD2AP即点F为CD的三等分点。Z则SAEF=SAGE+SAGF=SAABE+SAADF思路：绕点A将AAPD逆时针旋转90得至UAANB,使AD,AB重合3思

5、路：假设NAEF的度数为,NAFE的度数为在右图中已知工、表示45角，仁=表示角的度数为,所以AAPOSAAEFSADPFSABEOSADAOSABPA芬表示角的度数为t、思路：1)YNEAP=NEBo=45,VZEBA=90,JAE为直径.*.ZAEP=180o-NAPE-NEAP=42)同理AOFD四点共圆，.*.ZAFO=180o-ZAOF-ZOAf=3)VZEOF=ZEpf=ZECF=90ADBECABEP四点共圆,.ZAPE=90o贝UAP1PE5。.,AAPE为等腰直角三角形ZADF=90,JAF为直径，.*.ZAOF=90贝IJACuOF45.AAOF为等腰直角三角形,OECFP

6、五点共圆ADADB&BECBEC(11)思路：aaposaaef.爷=器，假设AP长为i,贝Ijae=,.ef=op(12)思路：AAPOSAAEF相似比为产，则面积的比为,Saef=2Sapo(13)思路：YAABPsAODA=,.*.ABAD=BPOD则AB2=BPX0D(14)思路：假设正方形的边长为m,BE长为a,DF长为b,则EF长为a+b根据勾股定理可得EC2+FC2=EF2J!(m-a)2+(m-b)2=(a+b)2化简得(m-a)(m-b)=2ab所以CECF=2BEDF(15)思路：根据证明过程可知AAPE为等腰直角三角形，所以AP=PE再证明AADP主CDP(SAS),所以

7、AP=PC,则PE=PC所以AEPC为等腰三角形(16)思路：过点E作EX1BD,垂足为点X,过点A作AY1BD,垂足为点Y,连接PE先证明AAPYgAPEX(AAS)(一线三垂直模型)，所以AY=PXVAY=-BD,PX=-BD所以BX+DP=PX=-BD2,222)120半角模型模型一：已知AABC为等边三角形，DB=DC,ZBDC=120,ZMDN=60,贝IJMN=BM+NC证明(思路)：延长AC至点E,使CE=BM连接DE先证明AMBD2AECD(SAS),所以DM=DE,BM=CE,ZBDM=ZCDEVZBDC=120o,ZMDN=60.*.ZBDM+ZCDN=60.*.ZCDE+

8、ZCDN=60o贝IJNEDN=60D再证明ADNM2DNE(SAS).*.MN=NE而NE=NC+CE所以MN=NC+MB模型二：已知AABC为等边三角形，DB=DC,ZBDC=120,ZMDN=60,贝IJMN=NC-BM证明(思路)：线段AC取一点E,使CE=BM连接DE、MN先证明AMBDgAECD(SAS),所以DM=DE,ZBDM=ZCDEVZBDC=120,ZMDN=60.*.ZBDN+ZCDE=60.*.ZEDN=120-ZBDN-ZCDE=60o再证明ANBD主NED(SAS).*.MN=NE而NE=NC-CE所以MN=NC-MB3)135半角模型在RtAABC中，点E、点D

9、分别为AB、AC边上动点，四边形AEFD是正方形,且NBFC=I35,则CB=CD+BE证明(思路)：延长DA至点M,使DM=BE,连接FM先证明AFDMgAFEB(SAS),所以BF=FM,NDFM=N2VZ1+Z2=360-90-135=135.*.Z1+ZDFM=135则NCFM=NCFB再证明ACMF空CBF(SAS),.*.MC=BC贝IJCB=CD+BE【提高测试】1.（2023秋八年级课时练习）如图，在RtABC中，AB=AC,NABC=NACB=45。，D、E是斜边BC上两点，且ND4E=45。，若BD=3,CE=4,Sade=15,则AABD与AAEC的面积之和为（）C.30

10、D.22B. 2个C. 3个D. 4个3. （2023秋江苏八年级专题练习）如图所示，在Rm48。中，AB=AC,D、E是斜边BC上的两点，且血4=45,将助。绕点/按顺时针方向旋转90。后得到的尸3,连接ER有下列结论：BE=DG团R4尸=WAC;即弘E=皿4；BF=DC.其中正确的有（）A.B.C.D.4. （2023秋广东深圳九年级校考期中）如图，点、N分别是正方形/BCZ）的边5C、CZ）上的两个动点,在运动过程中保持皿4N=45。，连接N、W0相交于点O,以下结论：N=5M+DN;（I）BE2WF2=EF2;7. BC2=BFDE;OM=COFQ)5.（2023春山东烟台八年级校考期

11、中）如图，正方形/5CD的边长为6,点,厂分别在边/5,BC上,若尸是BC的中点，且团。尸=45。，则。E的长为8.9.10. （2023全国九年级专题练习）在二ABC中，NAc=9（,C4=C,点瓦尸在AB边上，NECF=45。.若AE=IO,跖=15,则BF的长为.11.12. （2023秋江苏八年级专题练习）如图，在RtA43C和Rt2kBCQ中，回A4C=QC=90。，BC=4,AB=AC,C5D=30o,M,N分别在BQ,CD,0M42V=45o,贝IJADTW的周长为.13.14. （2023秋江苏八年级专题练习）如图，在RtZUB。和RtAgCD中，NBAC=NBDC=90,BC

12、=8,AB=AC,NCBD=30,BD=46,M,N分别在BQ,CD上，/MAN=45，则ADW的周长为（2023四川广元统考中考真题）如图，在正方形ABcD中，点O是对角线BD的中点，点尸在线段OD上，连接AP并延长交CD于点,过点尸作PF1AP交BC于点尸，连接AF、EF,AF交BD于G,现有以下结论：AP=PF;DE+BF=EF,PB-PD=2BFSAM为定值；S四边形尸石蛇=qg.以上结论正确的有（填入正确的序号即可）.I1（2023湖北黄石统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E尸分别在边5C、CD上，且ZE4F=45。，AE交于/点，AF交于N点.（1）若正方形的边长为2,则的

13、周长是.（2）下列结论：（I）BM2+DN2=MN2;若方是8的中点，贝IJtanNAEF=2；连接MF,贝J1MF为等腰直角三角形.其中正确结论的序号是（把你认为所有正确的都填上）.（2023秋江苏八年级期中）已知：边长为4的正方形ZgCD曲厂的两边分别与射线底、。相交于点、F,且回/尸=45。，连接尸.求证：EF=BE+DF.思路分析：（1）如图1,回正方形/BCZ）中，AB=AD,BAD=05=ADC90,团把绕点/逆时针旋转90。至则尸、。、E在一条直线上,回4F=度，.根据定理，可证：/7正朋E尸.EF=BE+DF.类比探究：如图2,当点E在线段CB的延长线上，探究印、BE、。尸之间

14、存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：（3）如图3,在AZBC中，AB=AC,D、在BC上，WAC=2WAE.若SU3C=I4,SAADE=6,求线段BD.DE、围成的三角形的面积.12. （2023秋福建龙岩九年级统考期中）如图，已知在册BC中，AB=AC,D、是BC边上的点，将明绕点/旋转，得到四连接。.当。=。组时，如与曲C有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.在（2）的结论下，当WC=90。，3。与。E满足怎样的数量关系时，回是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）13. （2023春陕西西安七年级统考期末）问题背景：如图1,在四边形ZBCQ中AB=AD,ZBAD=120o,ZB=ZADC=90。，、尸分别是BC,CD上的点，且曲尸=60。，探究图中线段EF,ED之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长尸。到点G,使DG=BE,连接/G,先证明AAB石0A4DG,再证明zAEF且AAGF,可得出结论，他的结论应是.图1实际应用：如图2,在新修的小区中，有块四边形绿化8CZ四周修有步行小径，&AB=ADf+m=180o,在小径BC,C