专题12 多面体的外接球和内切球（解析版）.docx

《专题12 多面体的外接球和内切球（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题12 多面体的外接球和内切球（解析版）.docx（15页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、对棱相等模型（补形为长方体）专题12多面体的外接球和内切球一、结论1.球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P-A5CD中，内切球为球0,求球半径厂.方法如下：VpABCDO-ABCD+O-PBC+%-PCD+O-PAD+O-PAB即：Vp_ABCDSABCD,+3SPBC,+SPCD,F+SPAD,F+PAB,T,可求出类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方

2、体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）墙角模型（三条线两个垂直）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等,求外接球半径（A5=CD,AD=BC,AC=BD）3、单面定球心法（定+算）步骤：定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ZRC中，选中底面ABC,确定其外接圆圆心。1（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2=一）；sinA过外心。1做（找）底面A5C的垂线，如图中Po1，面A3C,则球心一定在直线（注意不一定在线段Pa上）Pa上；计算求半径R：在直线Pa上任取一点。如图：贝UoP=OA=R,利用公式OA2=

3、O1A2+Oa2可计算出球半径R4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥尸A5C中：选定底面A5C,定A5C外接圆圆心。1选定面AR45,定AR45外接圆圆心仪分别过。1做面ABC的垂线，和。2做面B45的垂线，两垂线交点即为外接球球心。二、典型例题1. （2023山西吕梁一模（文）在九章算术商功中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖腌，如图在鳖1ABCD中，AB1平面5CD,AB=BC=CD=I9BCCDf则鳖腌ABCD内切球的表面积为（）B(,A.3B.（3-22C.12D.（3+2）【答案】B【解析】解：因为四面体ABcD四个面都为直角三角形，AB1平面58,BC1CD,所以A

4、B上BD,ABBCfBC1CD,ACCD,设四面体ABcD内切球的球心为0,则1BCD=%-ABC+O-ABD+O-ACD+O-BCD=%(SAAgC+SABD+SMCD+SAbcd)，3V所以G=JABCZ)因为四面体ABCD的表面积为Sabcd=Sabc+Sabd+5acd+Sbcd=1+2，又因为四面体ABCD的体积Vabcd=I,6所以%=生=1，所以S球=4打2=（320）万，S2故选：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2. （2023四川省南充高级中学高二期中（文）在三棱锥PABC中，1%,PB，PC两两垂直，PA=I,PB=2,PC=3,则该三棱锥的外接球的表面

5、积为（）A.学万B.56C.史叵TrD.14【答案】D【解析】将三棱锥PA5C补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R,贝14尺2=（2尺=92+尸52+尸。2=14,所以球的表面积为S=4tR2=14%.故选：D.【反思】由题意E4,PB,尸。两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球.3. （2023全国高一课时练习）已知三棱锥尸-ABC,在底面ABC中，A=30,BC=I9PA_1面45。，PA=23,则此三棱锥的外接球的表面积为（D.1632【答案】D【解析】Rr1sinAsin30o设/ABC的外接圆半径为凡因为A=30,BC=I,由正弦定理得：2H

6、=一二二=二=2,所以ABC的外接圆半径为1设ABC的外接圆圆心为。，过点。做的平行线，则球心一定在该直线上，设为。，因为K4，面ABC,PA=23,由于OP=OA=R,故OD=PA=3,由勾股定理得：OA=OD2+AD2=2?即此三棱锥的外接球的半径为2,故外接球表面积为47rx22=16兀.故选：D【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定ABC的外接圆圆心。，再过。做E4的平行线，则可确定球心。在该直线上，进而通过计算求出外接球半径R.4. 三棱锥PABC中，平面R45，平面ABC,R4B和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为.【解析】：由于AA5C是正

7、三角形，并且边长为2,所以AA5C的外接圆圆心为O1,则HO、=与,O1C=当,同理可得APAB的外接圆圆心为O2,可得到HO2当,O2P=孚,分别过。】做面ABC的垂线，过O2做面B45的垂线交于。，因为平面K45，平面A3C,所以四边形Haa为正方形，且OC=R,利用勾股定理：OC2=0Q2+qc2=氏2=（*）2+（半）2=|,所以E二平【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面ABC,R45都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.三、针对训练举一反三一、单选题1. （2023湖北黄冈高一期末）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1,

8、当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）A.2B.4C.3D.23【答案】B如下图组合体的轴截面,设圆锥半径为小圆锥高为鼠则出=r,AO=力-1,AC=Nh2+r2，OECF由SinNoAE=Sin/G4F得力=,代入得外产一2%产一力二o，OACA14由“该圆锥体积是球体积两倍”可知V=,q2)=2x(x13),即为户=8，联立两式得h=4.故选:B(2023青海海南藏族自治州高级中学高三开学考试(理)如图正四棱柱ABC。-A4G，中，底面面积为36,VABG的面积为6月，则三棱锥5-A与q的外接球的表面积为【答案】C【详解】设正四棱柱ABs-AMG2的高为人,因为正方形ABCD的面积为

9、36,所以A用二BC1二6,在RtE4G中，由勾股定理得AG=60,在RtBCC1,由勾股定理得BC2=z2+36,A1B=BC1,因为的面积为6月，所以g6j36+/-(3后2=6底,解得z=10,依题意，三棱锥5-A与G的外接球即为正四棱柱CD-A4C2的外接球,其半径为E后+6+1()2=屈，2所以三棱锥B-1G的外接球的表面积为4/(43)2=172万.故选：C.2. (2023全国高三专题练习)已知四面体尸-ABC中，K4，平面ABC,=AB=2,BC=A,且tanNABC=,则四面体尸-ABC的外接球的表面积为()A.15B.7兀C.1SD.20【答案】B解：如图所示：3.,在，A

10、BC中，tanZABC=-,2又.sir?ZABC+cos?ZABC=I且ZABC(0,r),故解得：cosZABC=,sinZABC=,1313由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC,即AC2=22+(13)2-2213=9,故AC=3,设ABC的外接圆半径为，AC313则2SinNAgC一3岳一三,2设4ABC的外接圆圆心为O1,四面体尸-ABC的外接球球心为0,174贝IjOA2=002+T=1；PA17四面体尸-MC的外接球的表面积为：4,=17.故选：B.3. （2023江苏金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展

11、览中获得了一致好评.其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为甘，面积为3,则球。的表面积等于（）8Un8U八12U八12UA.B.C.D.8282【答案】A【详解】2圆锥的顶点和底面圆周都在球。面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为一万,面积为3,319设母线为/,-12=3,可得:1=3,2由扇形的弧长公式可得：2r-1,所以r=1,圆锥的高OoI=32-I2=22，/2Q由/+（20R）=Q解得:R=EQ1Q1所以球O的表面积等于4R2=4-=-f32O故选：A5. （2023云南弥勒市一中高二

12、阶段练习）设直三棱柱A5C-A与G的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是辿目，AB=AC=AAi,NBAC=I20。，则此直三棱柱的高是3【答案】B【详解】AB=AC=AAi=2m,三角形ABC外接圆O1的半径为r,直三棱柱ABC-AAG外接球0的半径为R.因为NR4C=120。，所以NACB=30。，于是2=4m,r=2m,O1C=2m.sin30o又球心O到平面ABC的距离等于侧棱长AA1的一半，所以Oa=机.在RtOaC中，由OC2=0。2+。2,得R2=.+4m2,R=岛.所以球的体积V=（鬲）3=生巨，解得m=1.33于是直三棱柱的高是AA=2机=2.故选：B.6. （2023重庆西

13、南大学附中高一期末）已知正方形ABeD中，AB=2,E是CD边的中点，现以A石为折痕将J1DE折起，当三棱锥O-AB石的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（）D.25C25C.4【答案】C【详解】解：过作。尸_1AE于方，设点M为石的外心，G为A石的中点，连接MG,Mb,因为正方形ABcD中，AB=2,是8边的中点，所以DE=I,则AE=郎=炉下=逐，EG*，DF=ADEE=2=当,2AE，55所以EF=NDE2-DF?=f=且，MG=1EG=旦,EM=-,V55244所以FG=EGEF=旦旦=2510所以FM=MG2+FG2=JXE=X1至V16IOO20设棱锥O-AB石的外接球球心为O,

14、半径为R,则。暇，平面5CEF,设OM=%,因为ZXABE的面积为定值，所当高最大时，三棱锥。-AB石的体积最大，此时平面ADE_1平面BCEF,因为。尸_1AE,平面ADEI平面5CEF=AE,所以DF_1平面5CEF,所以（Ob_（W）2十枚2=氏20河2+石以2=尺2,所以（。尸OM）2+F2=om2+E2,所以DF22DFOM+FM?=EM?,所以W2义拽0M+2=生，解得OM=0,558016所以A4BE的外心为三棱锥。-ABE1外接球的球心,所以R二石=9所以三棱锥外接球的表面积为4=4*=故选：C7.8. （2023广西柳铁一中高三阶段练习（理）在三棱锥A-5CD中，AB=AD=BC3,CD=5,BD=4,AC=30，则三棱锥外接球的表面积为（）.63n64C128兀126A.B.C.D.【答案】D【详解】如图，由AB=5C=3,AC=32，AB2+BC2=AC2,AB1BC,由5C=3,BD=4,CD=5,B