专题14 圆锥曲线的切线问题（原卷版）.docx

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1、专题14圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据A=O来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据=0来求解；对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解.而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(X(PyO)的切线方程为(-)(y一切=A?.222 .过椭圆+2=1上一点P(X(PyO)的切线方程为岑+誓=1.abab3 .已知点M(XO,%),抛物线C:y2=2PX(P0)和直线/

2、:%y=MX+x0)(1)当点M(X(PyO)在抛物线C上时,直线I与抛物线。相切,其中M为切点，I为切线.当点M(X(P%)在抛物线C外时,直线I与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线/为切点弦所在的直线.(3)当点M(X(P%)在抛物线。内时,直线/与抛物线C相离.二、典型例题1.(2023安徽六安一中高二期末(文)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为221_+2_=1/?0),则椭圆在其上一点A(%)处的切线方程为学+苔=1,试运用该性质解决以下问题；椭圆G：5+/=1，点B为G在第一象限中的任意一点，过B作G的切线/,/分别与X轴和V轴的正半轴交于Co两点，则

3、OS面积的最小值为()A.1B.3C.2D.2【答案】C【详解】设5,%),0,0),由题意得，过点B的切线/的方程为：瞥+y=1,令y=0,可得C(1,0),令X=0,可得)(0,),占%o1211所以AOcD面积S=3*x=,2x1MX1M又点B在椭圆上，所以j+%2=1,所以S=+=+%2包工=X1M%2%x1j2y1X1当且仅当白=,即%=1M=Y1时等号成立，zX12所以OcD面积的最小值为故选：C【反思】过椭圆J+=1(Qh0)上一点A(XO,%)作切线，切线方程为：学+茅=1，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2.(202

4、3江西吉安高二期末(文)已知过圆锥曲线+父=1上一点尸(七,为)的切线方mn22程为氏十号z=1过椭圆%+：=1上的点4(3,-1)作椭圆的切线/,则过A点且与直线/垂直的直线方程为()A.%-y-3=0B.x+y-2=0C.2x+3y-3=0D.3x-y-10=0【答案】B【详解】过椭圆上的点4(3,-1)的切线/的方程为|十号1=1,即Xy4=0,切线/的斜率为1.与直线/垂直的直线的斜率为-1,过A点且与直线/垂直的直线方程为y+1=-(x-3),即x+y-2=0.故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式,但是在代入切线方程为室+空=1注意不要带错，mn通过对比本题信息，m=12,=4

5、,=3,%=-1,将这些数字代入公式，可求出切线/,再利用直线垂直的性质求解.3. (2023江苏南通一模)过点P(U)作圆C:/+V=2的切线交坐标轴于点a、B,贝UPAPB=【答案】-2【详解】圆。的圆心为C(o,o),kcp=-=1,10因为俨+12=2,则点P在圆。上，所以，尸C1AB,所以，直线A5的斜率为如=-1,故直线AB的方程为y-1=-(X-1),即x+y-2=0,直线x+y-2=0交1轴于点A(2,0),交)轴于点/0,2),所以，PA=(1,-1),PB=(-1,1),因此，pa.PB=-1-1=-2-故答案为：-2.另解：过圆C:(x-6z)2+(y-)2=后上一点P(

6、o,%)的切线方程为(加1)(X)+(X)(y)=尺2.可知/=,y0=1a=b=09笈=2,代入计算得到过点Wu)作圆UY+V=2的切线为：(10)(x0)+(10Xy0)=2,整理得：x+y-2=0,直线x+y-2=。交无轴于点A(2,0),交)轴于点网0,2),所以，PA=(1,-1),PB=(-1,1),因此，pa-PB=-1-1=-2.故答案为：-2.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。4. (2023全国高三专题练习(文)过点尸(2,2)作抛物线y=2x的切线/,切线/在y轴上的截距为一.【答

7、案】1【详解】设切线斜率为左，则切线方程y-2=左(-2),联立方程MX2)可得份2_2y_4左+4=0,y=2x则A=44左(T左+4)=0,解得左=；,即切线方程为y2=g(x2),取0,得y=1切线/在y轴上的截距为1故答案为：1.另解：点尸(2,2)在抛物线产=2元上，直接使用二级结论公式：已知点M(XO,%)在抛物线C:V=2px(p0)上，切线方程/:%y=M%+%o),Xo=2,%=2,JP=1,代入得：2y=1(x+2)=x2y+2=0,取X=0,得y=.【反思】本例中，提供了传统方法和二级结论的方法，抛物线的切线可以通过联立，有时求导也能解决，当切点在抛物线上时也可以直接使用

8、本节二级结论，但是同学们使用公式前注意判断是否适用.5. (2023江苏徐州高二期末)已知圆C:Y+/+2+4y+3=0.过点4(0,-1)作圆。的切线，求切线的方程；【答案】x+y+i=。；【解析】(1)圆C:炉+y?+2%+4y+3=0,圆心C(1,2),半径厂=/,又A点的坐标满足圆方程，故可得点A在圆。上，则切线斜率左满足左、七4二-1,又Q4=I,故满足题意的切线斜率左=-1,则过点A的切线方程为+1=r,即x+y+1=0.【反思】本题求圆的切线问题，作为解答题，不推荐使用二级结论的公式，建议同学们使用传统的方法.三、针对训练举一反三1. (2023辽宁辽河油田第二高级中学高二期中)

9、过圆0+y2=4上一点尸卜1,作圆。的切线/,则直线/的方程是()A.x+y3y-4=0B.x+y3y-2=0C.x-y3y+2=0D.x-y3y+4=02. (2023全国高三专题练习(理)若曲线y=j4，与直线y=左(x2)+4有两个交点，则实数上的取值范围是()A臣B(,+oojC.(1,+)D.(1,33. (2023浙江台州一中高三期中)过点加(-1,2)且与圆V+/=5相切的直线方程为()A.x-2y+5=0B.%+2y+5=0C.2%y5=0D.2%+y+5=04. (2023浙江高三专题练习)已知尸为椭圆UE+二=1的右焦点，点A是直线x=332上的动点，过点A作椭圆C的切线A

10、M,AN,切点分别为V,N,贝U1M/|+|NB-1肱V1的值为()5. （2023江西吉安高二期末（理）过圆V+V=产上一定点FaO,%）的圆的切线方22程为4X+）V=6此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆会+q=上的点A（3,-1）作椭圆的切线/.则过A点且与直线/垂直的直线方程为（）A.x+y2=0：B.x-y-3=0C.2x+3y-3=0D.3x-y-10=06. （2023新疆乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点?（羽”是椭圆。+；=1上任意一点，则点。到直线s=+5的最大距离为（）A.5艮叵B.5QAC.52+26D.52-2622227. （2023广东佛山模拟预测）过双曲线U-斗=

11、1（00）上一点。作双曲线。ab2的切线/,若直线OP与直线/的斜率均存在，且斜率之积为：，则双曲线。的离心率为（）29r3035口廊A.D.1.D.53558. （2023全国高三专题练习）若直线y=区+2与曲线X=JT获交于不同的两点，那么k的取值范围是A.（巫,巫）B.（0,）C.（巫,o）D.（四1）333339. （2023山西临汾一模（理）过点P（1,T）作抛物线。：炉=2丁的两条切线，切点分别为M,N.若。为一PMN的重心，则点。的坐标为（）A.（1,1）B.（0,0）C.D.（2,2）10. （2023甘肃金昌市教育科学研究所高三阶段练习（理）倾斜角为135。的直线/与抛物线y2=8相切，分别与X轴、）轴交于A、6两点，过A,5两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为（）A.4B.2C.22D.211. （2023全国高三专题练习）设抛物线V=2Py（P0）,Af为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B,A,B,的横坐标分别为X/XD.以上都不对112C1=.XAXBXM12. (2023河南高三阶段练习(理)已知抛物线。：f=2Py(Ot且贝IJP二(A.4B.3C.2D.1