专题35 投影与视图（解析版）.docx

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1、专题35投影与视图【考查题型】投影与视图判断简单几何体的三视图判断简单组合体的三视图由三视图还原几何体三视图的相关计算【知识要点】知识点一投影一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。（例如：太阳光）平行投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图1）,在太阳光下，它们的影子一样长。2）等长的物体平行于地面放置时（图2）,它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度。【小技巧】D图1中，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应

2、边成比例。2）已知物体影子可以确定光线，过已知物体顶端及影子顶端作直线，过其他物体顶端作此线的平行线，便可求出同一时刻其他物体的影子。（理由：同一时刻光线是平行的光线下行成的）可以计算高大物体的高度，比如：旗杆/树/楼房的高度等。4）在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西一西北一北一东北一东，影子长度由长变短再变长。中心投影的概念：由一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。（例如：手电筒、路灯、台灯等）中心投影的特征：1）等高的物体垂直地面放置时（图3）,在灯光下离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长O2）等长的

3、物体平行于地面放置时（图4）,一般情况下离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短,但不会比物体本身的长度还短O【小技巧】1）点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置。2）如果一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形也是平行的，并且中心投影后得到的图形与原图形相似。正投影的概念：当平行光线垂直投影面时叫正投影。如图所示，图中的投影线集中于一点，形成中心投影；图中，投影线互相平行，形成平行投影；图中，投影线斜着照射投影面，图中投影线垂直照射投影面（即投影线正对着投影面），（1）（2）（3）正投影的分类：D

4、线段的正投影分为三种情况.如图所示.线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段AiBi,与线段AB的长相等；、线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2,长小于线段AB的长；线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点。2）平面图形正投影也分三种情况，如图所示.当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似。当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线。3）立体图形的正投影物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置

5、有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等。知识点二三视图三视图的概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图。主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图。三视图之间的关系：D位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，2）大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则画几何体三视图的基本方法：画一个几何体的三视图时

6、，要从三个方面观察几何体1）确定主视图的位置，画出主视图；2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”。【注意】几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线。由三视图想象几何体的形状：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形。利用三视图计算几何体面积的方法：利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。考查题型一理解投影典例1（2023.江苏南京.统考中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上

7、方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）【答案】D【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键.变式11（2023.浙江温州.统考中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均

8、匀分布，水平地面上的点M在旋转中心。的正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OAo6,此时各叶片影子在点M右侧成线段8，测得MC=8.5m,CD=13m,垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3,则点0,M之间的距离等于米.转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米.MCDFG【答案】10（10+3）【分析】过点。作AG5。的平行线，交CD于H,过点。作水平线OJ交BO于点J,过点5作5,QppM9垂足为/,延长MO使得OK=O求出CH的长度,根据=%=彳，求出（W的长度,证明，BIOSJ1B,FGMH324得出血=彳，OI=-IJ,求出、B1,。/的长度，用勾股定理求出05的长，即可算出所

9、求长度.39【详解】如图,过点0作AC、BD的平行线,交CO于H,过点0作水平线OJ交BD于点、J,过点B作BI0J,垂足为/,延长0,使得OK=O5,由题意可知，点。是A5的中点，.OHAC/BD,点”是8的中点，,.8=13m,.*.CH=HD=1CD=6.5m,2.*.2WW=MC+CH=8.5+6.5=15m,又Y由题意可知:*,解得OMIOni，153点0、之间的距离等于IOn1,CBI1OJ,：/B1O=Y由题意可知：ZOBJ=ZOBI+ZJBI=90,XVZBO/+ZOB/=90,ZBOi=ZJBI,BIOsjib,1-21-1万一丽“【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾

10、股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.变式12（2023.陕西.统考中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，QA的影长0。为20米，小明的影长尸G为2.4米，其中0、C、D、尸、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，AOOD,EF1FG.已知小明的身高E尸为1.8米，求旗杆的高【答案】旗杆的高A5为3米.【分析】证明DS21mg,利用相似比计算出AO的长，再证明ABOCs然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解.【详解】:,ADEG,：.ZADO=ZEG

11、f.又.ZAOD=ZEFG=90o,.*.AODczAEFG.AOODEFFG,.CEFOD1.8202.4FG.AO=15.同理，BOCAOD.BOOCb.,.AB=OA-OB=3(米).旗杆的高AB为3米.【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的.变式13(2023.四川攀枝花.中考真题)实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线VN的距离皆为I(X)Cm.王诗嬷观测到高度90Cm矮圆柱的影子落在地面

12、上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示.已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线VN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度i=1:0.75,在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：(1)若王诗嬷的身高为150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm?(2)猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内.请直接回答这个猜想是否正确？(3)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm,则高圆柱的高度为多少cm?【答案】(1)120cm；(2)正确；(3)280cm【分析】(1)根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决

13、问题.(2)根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线VN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；(3)过点F作FG1CE于点G,设FG=4m,CG=3m,利用勾股定理求出CG和FG,得至UBG,过点F作FH1AB于点H,再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：(1)设王诗嬷的影长为XCm,mr/日90150由感忌可倚：，72X解得：x=120,经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬷的的影子长为120cm；(2)正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地

14、面垂直，高圆柱也与地面垂直，,高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；(3)如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，ACDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子,过点F作FG1CE于点G,由题意可得：BC=IOO,CF=IOO,斜坡坡度7=1:0.75,.DEFG14*CECGO753,J设FG=4m,CG=3m,在aCFG中，(4m)2+(3m)2=IOO2,解得：m=20,.*.CG=60,FG=80,.e.BG=BC+CG=160,过点F作FH1AB于点H,;同一时刻，90Cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm,FGBE,ABBE,FHAB,可知四边形HBGF为矩形，

15、.90_AHAH9090.*.AH=X5G=X160=200,7272.*.AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型.考查题型二判断简单几何体的三视图典例2（2023.福建.统考中考真题）如图所示的圆柱，其俯视图是（）【答案】A【分析】圆柱体的顶部是一圆，圆柱体的俯视图应为一个圆.【详解】圆柱体的顶部是一个圆圆柱体的俯视图应为一个圆A选项是一个圆，是圆柱体的俯视图B选项是长方形，不符合题意C选项是长方形，不符合题意D选项不是圆，不符合题意