专题02 函数的综合应用（解析版）.docx

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1、专题02函数的综合应用【考点预测】高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数

2、的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.【题型归纳目录】题型一：函数与数列的综合题型二：函数与不等式的综合题型三：函数中的创新题【典例例题】题型一：函数与数列的综合例1. （2022浙江效实中学模拟预测）已知数列可满足q = 1, e% = 2-T(N),n其中e是自然对数的底数，则（）A. 0 4043B. 4043一- 20221C 2022 2022 D.1 2022 。+1% + 1+ 1,吐一4，由累加法可得见4,利用不1cll11c1等式eY；可得2-,即2,同理用累加法可得则17%+l l-+2/7-12/7-11。时，edfl, = 2 1 = an+i 0,即 4

3、 =1 。= 0,n则 e% %+ +1 , elt = 2 an +1,an +1an111整理得。即1， +1向 %111 1111 1即 1, 1,， 1,a2aa3a2aan-将个不等式相加得及-1,即all -,4 4%n令（x） = ex（lr）7,则（x） =-北,当xo,当xo时，r（x）1 时，ert- , 2 !1 - 4+14+1 1-,同理利用累加法可得,不二，4 a2?-1所以-cn 1),贝Jxp2 -，2/?-1)4043一 2022故选：B .例2. (2022辽宁东北育才学校二模)已知数列4满足0405, +1 =+ln(2-),则下列说法正确的是()A. 0

4、。2022 5B. 0.5 a2022 1C. 1 22 1 5D. 1.5 6f2022 2【答案】B【解析】【分析】利用lnxx7可得。“1,且数列%是单调递增数列，得出0/l,利用导数可得g(x) = x + ln(2-x),0x1 时，E2% 。,则 r(x) = !x由r(x)O得0vxvl,由尸(力l,所以/(“在(0,1)单调递增，在(l,+)单调递减，所以x)=0,所以 lnxlnl=O,所以数列4是单调递增数列，所以0凡1,令且(6=工+皿2-力,0工0,所以g(x)在(0,1)单调递增,则% = gg= ln2,所以当 1 时，In240.5,所以 0.5%l,所以 0.5

5、 4022 72 说法正确的是()n12、万1Bc. c1+22r2及) Tc %-丁 丁&-2、兀、D. +1-y-l【答案】D【解析】【分析】将已知等式化为 .=sin an -2y ，根据/(力=乙Zx-sinx的单调性和/(0) = 0,可得j0；当 x(0,+8)时，gf2 (x)0i当代修岑时，质(%)0；4(x)在(e)上单调递增，在(会与 上单调递减,又g322L也一迪of(3r 2 22当 r= g、3 ； J4-近,也使得 e()5-&，C 错误;n2 乃2对于 D, yy 丁令g4(x) = g _ cosxx,则g：(x) = sin九一,2717力 开31 V511当

6、xnj时，smx ,1.留在上单调递增，2.sinx0 ,即 g：(x)0,兀1222D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数最值的问题，解题关键是能够根据k 卜祐H的特点，构造不等式求得知的取值范围，进而可以通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数来进行求解.例4.(2022浙江慈溪中学模拟预测)已知数列4满足：4=,且.=岫 + 1)?，则下列关于数列q的叙述正确的是()2A. 4 4同B. 一;%一一D. an-，十乙【答案】D【解析】【分析】构造函数(x) = ln(x+l)-sinx (-g戈0),由导数确定其单调性，从而利用数学归纳法证

7、明一J4(),然后构造函数g(x) = (x)-X = ln(x+l)-sinx-x (-xO,得/(x)x,利用此不等式可直接判断A,对选项B,由数列4的单调性与有界性知其极限存在，设y = A,对数列的递推关系求极值可得A=0,从而判断B,2x对选项C,引入函数设p(x) = ln(x + l)-(-lx0),由导数证明P(x),得x + 22xln(x+l)-(-lx0),从而利用不等式性质得出数列的不等关系，判断C,利用x + 2判断选项C所得正确不等式变形，并换元引入新数列得前后项关系(求对数再变化)，类比等比数列的通项公式的方法得出结论后判断D.【详解】首先我们证明：-j0,利用数

8、学归纳法.事实上，当,2 = 1时，-610j假设当=2时，一Jq,0,则当 = Z + 1 时，+1 =ln(l)-sin.111设函数 (x) = ln(x + l) - sinx(-弓 x0, WJ(x) 一不,。上N 1单调递增,当一,x0 时,2jj-lnsin = =()(0) = 0设 g(x) = (x)-x = l(x+l)-sinx-x-x0,(0)01 (x) = -j-Pj+sinxo,则g(x)在一Z所以存在 e(；,。)，使得g(x0) = 0,X(), xv。时，g(九)ming(0),g -j =0 ,从而(x)x.对于A选项：由于-;,故数列单调递增，选项A错误.对于B选项，由于%单调递增且-;4%0,从而！吧。 =