和差公式及倍角公式的运用.docx

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1、和差公式及倍角公式的运用一、和差公式二、倍角公式三、应用类型(题型一)给角求值例1、sin1OOsin(-1600)+COS200cos(-280)W.解析】原式二-(CoS10sin20+cos200sin100)=-sin30=-2或原式=-(Sin80。Sin20。+cos200cos800)=-cos600=-g例2、计算1-2Sin222.5的结果等于A.d2B.2【解析】1-2sin222.5=cos450=2答案:BZ2例3、Sina=3，那么COS(Tr-2)的值为A.3B.D.【解析】cosOr-2a)=-cos2=-(1-2sin2a)=2sin2-1=2-1=.答案：B例

2、4、为第三象限角，cosa=-【解析】Ta为第三象限角，cosa3-,那么tan2a=_3-5,45.*.Sina=-1-cos2a=一TFIsin于是tana=COStt2x3C2tana324：.tan2a=7-=1-tar0昌27例5、求SinIOsin30sin50sin70的值.【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式解：*/sin2a=2sinacos,.sin2asma=2cos原式二型.迦丝亚维2cos10022cos5002cos70sin200sin800sin4Oo_12sin8Oo2e2sin4Oo*2sin2Oo16*法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式解：原式二

3、COS80,cos40cos200=1COS20cos40cos802212sin20ocos200cos400cos800sin400cos40cos80=22sin2()04sin20osin8Q0cos8Q0_sin1600_18sin2Oo16sin2Oo?6或原式二CoS80。-cos400cos20=cos200cos400cos800222sin402e2sin20ocos40cos80。isin8Ot)CoS800_1sin16Oo_18-sin20o-16*sin2Oo_16提示:*sin2=2sinacos，COSa=疝,因此COS20。=2sina2sin20o法三：构造

4、对偶式，列方程求解那么xy=sinIO0cosIO0sin50cos50sin7Oocos700=-sin2Oo-sinIOO0-sin14Oo222=-sin20sin8Oosin40=-sin80osin40osin2Oo88=-cos1O0cos500cos70=-y88Vy09x=-,从而有Sin1osin30sin50sin70=-k816例6、求以下各式的值tan12【解析】(1)JMs=-(2sin2-1)=-1(1-2sin2-)=-Icos-=-;28282442乃12万1tan1tan1原式二盘.=2xi-=2-=23.tan2tantan12126【题后感悟】对二倍角公式

5、的理解应注意以下几点：(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：4。是20的二倍角，是W的二倍2角，3。是手的二倍角等；(2)公式逆用：主要形式有2sinacosa=sin2,sinacos=sin2,2【变式训练】同步练习、求以下各式的值tan(I)cos200cos400cos600cos800;(2)(cos-sin)(cos-sin);(3)88881,2乃1-tan8(题型二)一给值求值例1、sin1X)=1Xe(0,&),求cs2%的值454COSi)【点拨】Vx(O,y),-x(0,),444依题意，sin(-x)=-,；cos(-x)=J1-sin2(-%),454V45又CC)

6、S2x=sin(-2x)=2sin(-x)cos(-x)=2-=244552546原式=亨=竽.【题后感悟】(1)从角的关系寻找突破口.这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢;另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)当遇到这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结4论沟通.cos2x=sin(-2x)=2sin(-x)cos(-%).类似这样的变换还有：例2、SinGT)=jx(0,3求.的值.434Sin(尹外【解析】vsin2x=cos(-2x)=1-2

7、sin2(-x)=i-2(-)2=-,2439又;X(0,),-x(0,),444依题意，sin(-X)=-,/.cos(-x)=J1-sin2(-x)=,434V43(题型三)化简例、化简以下各式：COS1o(1+Ktan10)2cos?。-1cos701+cos4002tan(-)44【点拨】切化弦，并逆用二倍角公式提示：1、1+cos400=2cos220;1CCoS2。【解析】（2）原式=2、还可以将1变为COS60,将“变为sin60,因此，分子变为cos500.222sin(-6)sin(-26)COS2。cos2(-6?)2COS(一。)44【题后感悟】被化简的式子中有切函数与弦

8、函数时，常首先“切化弦”，然后分析角的内部关系，看是否有互余或互补的，假设有，应用诱导公式转化；假设没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开（或重新组合），经过这样的处理后,一般都会化简完毕.【变式训练】zb4c3tan1203化简：由2。(4而72。三；1sina-cos+1+sin+cosa1+sin+cose1+sin-cos【解析】原式=3sin1203CoS1203sin120-3cos1202sin120(2cos2120-1)2sin120cos120cos240.aa_oa_.aa.2a2sn-cos-+2cos2sm-cos+2sm_.aa2sn-co

9、s-+法一：原式=2-C2cecGGc2a2sm/sin-cos+2cos2(1+sina)?+2cos2a-TiS2(1+sna)-cos*a法一.原式(1+sina-cosa)2+(1+sin+cos)20+sinacosaX1sin-cosa)四、万能公式（正、余弦的二倍角与正切的单角的关系）1sin2=2sincos=2sincosa2tanasin2cos2a1+tan2ap1.-2tana,即sn2a=-1+tana2.cos2a=cos2a-sin2a=rC1-tan2,即COS2a=；-1+tanacos2-sin2a1-tan2asin2+cos2a1+tan2a说明：这两个

10、公式叫做“万能公式”，在是否记忆上不做硬性要求，但记住了5%、g.与乙之间的关系，就会使解题过程更简捷.五、活用公式由于公式之间存在着紧密的联系，所以，就要求我们在思考问题的时候必须因势利导、融会贯穿，要有目的地活用公式.、主要形式有：1sin2a=sin2+cos22sinacos=(sin+cosa)2,、sin2a=2sinacosa=Vsma=sin2acosa=2cosasin2a2sinacos2=2cos-1,cos2=1-2sin2,、cos2=cos2a-sin2=-cos-a=sin2a=1-cos2六、错例分析例、解不等式SinX+cosx-10.【错解】YSinX+cosx1,两边平方，得(SinX+cosxf1,1+2sinxcosx1,/.sin2xO,*.2k2x2k+(kZ),因止匕，kx1,两边平方，得SinXCOSX0,必有sinxO且CosxO,又Vsi1ICoSX1,*.X必为第一象限角，2kx2k+；(kZ).即原不等式的解集为Qk,2k+,其中GZ.【错因】错因1：忽略了X为第一象限角（因为卜山乂1,COS（1,又Vsinx+cos%1,所以必须sinx。且CoSX0）；错因2：上述方法引进了SinX+cosxV-1的增解，如果改用恒等变形，得3sin（x+工）1,即Sin+马9,可防止增解，也无需寻找隐含条件.442