因动点产生的等腰三角形问题.docx

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1、1.2因动点产生的等腰三角形问题例12023年上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在RtZA8C中，NA=90,A8=6,AC=8,点。为边BC的中点，E_1Be交边AC于点点P为射线A8上的一动点，点。为边AC上的一动点，且NPQQ=90.(1)求ED、EC的长；(2)假设BP=2,求CQ的长；(3)记线段PQ与线段OE的交点为尸，假设尸为等腰三角形，求BP的长.图1备用图动体检请翻开几何画板文件名“13虹口25,拖动点尸在射线AB上运动，可以体验到，APDM与AQDN保持相似.观察APDF,可以看到，P、尸可以落在对边的垂直平分线上，不存在OF=OP的情况.请翻开超级画板文件名“13虹口2

2、5，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，&PDM与丛QDN保持相似.观察APDF,可以看到，P、尸可以落在对边的垂直平分线上，不存在。尸=。尸的情况.思路点拨1 .第(2)题8P=2分两种情况.2 .解第(2)题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系.3 .第(3)题探求等腰三角形PO尸时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形C。.总分依等答(1)在RtZXABC中，AB=6,AC=8,所以BC=I0.3 IS25在RtZXCDE中，CD=5,所以EO=CotanNC=5x-=,EC=.4 44(2)如图2,过点。作OM_1AB,DN1AC,垂足分别为M、M那么。M

3、、DN是ABC的两条中位线，DM=4,QV=3.由POQ=90,NMDN=900，可得NPDM=NQDM所以也=也=3.所以QN=3pM,PM=-QN.QNDN343图2图3图4如图3,当BP=2,P在8M上时，PM=.333IO此时QN=，PM=巳.所以CQ=CN+QN=4+2=上.4444如图4,当BP=2,尸在的延长线上时，PM=5.3151531此时QN=-PM=-.所以CQ=CN+QN=4+4444（3）如图5,如图2,在RtZXPDQ中，tan/Q尸。=坐=里=3.PDDM4在RtZA8C中，tanZC=-=.所以NQPo=NC.CA4由NPZ）Q=90,NCoE=90,ZPDF=

4、ZCDQ.因此aPDFsZCQ.当尸是等腰三角形时，CQQ也是等腰三角形.如图5,当CQ=Co=5时，QN=CQ。V=5-4=1（如图3所示）.444s此时尸M=-QN=-.所以BP=BM-PM=3一一=.3333如图6,当QC=Q。时，由COSC=里，可得CQ=3=至.CQ258?57所以QN=OVCQ=4-上=1（如图2所示）.8847725此时PM=-QN=-.所以8P=8M+PM=3+-=.3666不存在OP=O尸的情况.这是因为NZfP2NOQPNOPQ（如图5,图6所示）.图5图6考点伸展如图6,当aCDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到ABQP也是等腰三角形，PB=P

5、D.在AB。P中可以直接求解BP=6例22023年扬州市中考第27题如图1,抛物线y=r2+bx+c经过41,0)、8(3,0)、C(O,3)三点，直线/是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线/上的一个动点，当/C的周长最小时，求点尸的坐标；(3)在直线/上是否存在点使aMAC为等腰三角形，假设存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由.图1请翻开几何画板文件名“12扬州27，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点尸落在线段BC上时，%+PC最小，的周长最小.拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察aMAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关

6、系，可以看到，点M有1次时机落在AC的垂直平分线上；点A有2次时机落在MC的垂直平分线上；点。有2次时机落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线.思路点拨1 .第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点?在线段BC上时aBAC的周长最小.2 .第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.总分值解答(1)因为抛物线与K轴交于A(1,0)、8(3,0)两点，设y=(x+1)(-3),代入点C(O,3),得一30=3.解得a=-1.所以抛物线的函数关系式是y=-(x+D(-3)=f+2+3.(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.当点尸落在线段8C上时，+PC最小，的周长最小.设抛物线

7、的对称轴与X轴的交点为H.由跑=丝，BO=CO,得PH=BH=2.BOCO所以点P的坐标为(1,2).(3)点M的坐标为(1,1)、(1,布)、(h-6)g(1,0).考点伸展第(3)题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(Ig).在AMAC中，AC2=IO,C2=1+(w-3)2,WA2=4+w2.如图3,当MA=MC时，MA2=MC2.解方程4+M=+(?一3户，得?=.此时点M的坐标为(1,1).如图4,当4M=4C时，AM2=AC2,解方程4+=o,得m=.此时点M的坐标为(1,#)E(1,-6).如图5,当CM=CA时，CM2=C2.解方程1+(帆-3)2=10,得加=0或6.当M(1

8、,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点”的坐标为(1,0).图3图4图5例32023年临沂市中考第26题如图1,点A在X轴上，OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、。、/3的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由.图1动猫体检请翻开几何画板文件名“12临沂26，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，。和OB以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到。与对称轴的另一个交点时，3、0、P三点共

9、线.请翻开超级画板文件名“12临沂26”,拖动点P,发现存在点R使得以点P、O、8为顶点的三角形是等腰三角形感珞点拨1 .用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验.2 .此题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起.总分值解答(1)如图2,过点B作BCJ1y轴，垂足为C在RtZ08C中，NBOC=30,OB=4,所以8C=2,OC=23.所以点B的坐标为(-2,-26).(2)因为抛物线与X轴交于0、4(4,0),设抛物线的解析式为y=r(-4),代入点5(2,2J),-23=-2(-6).解得一立.6所以抛物线的解析式为

10、V=-2x(x-4)=空X.663(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,y).当OP=O8=4时，OP2=16.所以4+y2=16.解得y=2?.当户在(2,26)时，B、。、P三点共线(如图2).当8P=80=4时，BP2=6.所以42+(y+2JJ)2=16.解得乂=%=一26.当尸B=Po时，PB2=PO2.所以42+(+2石)2=22+)，2.解得y=-2.综合、，点P的坐标为(2,-2J),如图2所示.得抛物线的顶点为。(2,乎).，NoDA=I20.由y=_*x(x_4)=_*_2)2+半,因此tanNO。A=述.所以NOOA=303例42023年盐城市中考第28题

11、如图1,一次函数y=-+7与正比例函数y=g的图象交于点A,且与X轴交于点艮(1)求点A和点B的坐标;点P从点点A运动;中，直线达点A时,的时间为为8?(2)过点A作AC_1y轴于点C,过点8作直线/.y轴.动O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OC4的路线向同时直线/从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程/交X轴于点R,交线段BA或线段Ao于点。.当点P到点P和直线/都停止运动.在运动过程中，设动点尸运动/秒.当，为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积是否存在以A、P、。为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求f的值；假设不存在，请说明理由.动猫体云请翻开几何画板文件名“11盐城28，

12、拖动点R由8向。运动，从图象中可以看到，的面积有一个时刻等于8.观察AAPQ,可以体验到，P在OC上时，只存在AP=AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，AAPQ是等腰三角形.思路点拨1 .把图1复制假设干个，在每一个图形中解决一个问题.2 .求PR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上，P在CA上运动时，高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.3 .讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论，点尸的每一种位置又要讨论三种情况.总分值解答y=r+7,(3(1)解方程组，4得所以点A的坐标是(3,4).y=-y=4.令y=-x+7=0,得X=7.所以点8的坐标是(

13、7,0).(2)如图2,当P在OC上运动时，0FV4.由SS梯形CfWM-S一5册8=8，得*-Wt1VpVVvX41VX-Vzf-(3+7-04-4(4-r)-r(7-r)=8.整理，Wr2-8r+12=0.解得f=2或尸6(舍去).如图3,222当尸在CA上运动时，AAPR的最大面积为6.因此，当，=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.图2图3图4我们先讨论。在。C上运动时的情形，0WV4.如图1,在AAOB中，ZB=450,NAoB45,OB=IfA8=4,所以08A8.因此/0A8ZAOBZB.如图4,点P由。向。运动的过程中，OP=BR=RQ,所以PQx轴.因此N4QP=45

14、保持不变，N雨。越来越大，所以只存在NAPQ=NAQP的情况.此时点A在PQ的垂直平分线上，OR=2CA=6.所以BR=1,/=1.我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4r7.在AAPQ中，CoSzA=I为定值，AP=1-t,AQ=OA-OQ=OA-OR=t-如图5,当AP=AQ时，解方程7=3-型，得，=史.338如图6,当。P=QA时，点。在雨的垂直平分线上,AP=2(0R-0P).解方程7T=2(74),得f=5.AQO八o如7,当/=PQ时，那么COSNA=因此A。=2APcosNA.解方程=2(7)x，335综上所述，/=1或3或5或些时，AAPQ是等腰三角形.843图5图6图7考点伸展当P在CA上，QP=Q4时，也可以用AP=2AQcosNA来求解.例52023年南通市中考第27题如图1,在矩形ABCo中，AB=m（帆是大于0的常数），BC=8,E为线段BC上的动点（不与8、C重合）.连结DE,作MJ1DE,E尸与射线BA交于点凡设CE=JGBF=y.（1）求），关于的函数关系式；（2）假设加=8,求X为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）假设y=2,要使为等腰三角形，用的值应为多少？m图1动点体检请翻开几何画板文件名“10南通27，拖动点E在BC上