图形的中点问题.docx

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1、2023中考数学专题复习5图形的中点问题一.知识要点：线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。涉及中点问题的几何问题，一般常用以下定理或方法：(D直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)三角形中位线定理；(3)等腰三角形三线合一的性质；(4)倍长中线，构造全等三角形(或平行四边形)；(5)平行四边形的性质与判定.二.例题精选1、假设一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，那么常过中点作中线，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质或“等腰三角形三线合一的性质。例1如图，AABC中，NB=900,AB=BC

2、,D在AB上,E在BC上，BD=CE,M是AC的中点，求证：ADEM是等腰直角三角形.提示：连结BM,证明ABDM四CEM,得DM=ME,ZDMB=ZEMC,那么NDME=得AMDM为等腰直角三角形2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”，假设有一点是三角形一边的中点或梯形一腰的中点，那么常过中点作中位线。例2.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F.求证：NDEN=NF.提示：连结AC,作AC中点G,连结MG,NGo那么MG=NG,MG/7BC,NGAD。，NMGN=NF,NGNM=NDEN,ZMGN=

3、ZGNM.I.ZDEN=ZF.3、假设有三角形的中线或过中点的线段，那么通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。例3.：如图2,AD为AABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证：AC=BF提示：延长AD至G,使DG=AD,连结BG,那么ABDGgACDA,AAC=BG=BF4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.BCG例4.如图，正方形力政力和正方形。颂的边长分别是2和3,且点反C,G在同一直线上，W是线段力的中点，连结,，妒，那么.涉的长为.提示：延长AD、FM交于点H,那么AH=EF=3,DH=I=DF,FH=2-F/=-M

4、F=225、有关面积的问题中遇到中点，常用”等底等高的两个三角形面积相等”的性质。例5.如下图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G,刃JtgaD那么S电加CD=提小：连接BG,*E是线段AB的中点，：.S.EG=SABEG=X,SZiBGF=SGrzy设AB=2a,BC=2b,$历3=2aX2b=4ab,22根据题意，得：2y+x=2BCBE=ab,2x+y=2BABF=ab,/.2x+y=2y+x,即ab2x=y=3,：.SIn1边形AGCD=4ab-4x=3/.QBHM8D2等于3,.能力训练1AD是AABC的角平分线，AB=10,JO6,CN1AD干N,

5、且也是欧的中点.那么MN的长为.2 .顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形MNPQ,给出以下6个命题：假设所得四边形MNPQ为矩形，那么原四边形ABCD为菱形；假设所得四边形MNPQ为菱形，那么原四边形ABCD为矩形；假设所得四边形MNPQ为矩形，那么CBD;假设所得四边形MNPQ为菱形，那么AC=BD;假设所得四边形MNPQ为矩形，那么NBAD=90；假设所得四边形MNPQ为菱形，那么AB=AD.以上命题中，正确的选项是().B.C.D.3 .如图,在AABC中,DC=4,BC边上的中线AD=2,AB+AO3+如图，AABC中，AB=5,AC=3,BC上的中线AD=2,求BC的长.BDC如

6、图，ZXABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE,DGCE,G为垂足.求证：（I）G是CE的中点；（2）NB=2NBCE.,那么S&k等于()5537.2C.2万D.-2-CE1AB于E,/为力的中点，吠54,那么第3题5.ABC中，AB=7,AO3,那么中线AD的取值范围是AB的延长线交于点F,求证:BF=BD并且BE=4,AD=6,求AB的长ABC中，角平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直,四.思维拓展如图，四边形ABCD中，E为BC的中点，AE与BD交于F,且F是BD的中点，O是AC,BD的交点，AF=2EF,AAOD的面积是3(,求四边形ABCD的面积.12.在图1,图2中，Aab

7、c和dec都NABC=2NC,DBC于D,E是AC中点,ED的延长线与是等腰直角三角形。ZACB=ZDCE=9Oo,F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点.(1)如图1,点d,E分别在AC,BC的延长线上，求证：Afgh是等腰直角三角形.将图1中的Adec绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2,Afgh还是等腰直角三角形吗？假设是,给出证明；假设不是请说明理由.13 .如图1在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,那么NBME=NCNE(提示：参见例2).问题一：如图2,在四边形ADBC中，AB与CD相交于点0,A

8、B=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交dc、AB于MN,判断Aomn的形状，请直接写出结论。问题二：如图3,在Aabc中，ACAB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,假设NEFC=60,连接GD,判断AGD的形状并证明.14 .如图，正方形ABCD的边长是2,M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EU并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G,连结EG、FGe(1)设AE=X时，EGF的面积为丁，求了关于X的函数关系式,并写出自变量X的取值范围；(2)P是MG的中点，请直接写出点P

9、的运动路线的长。15.如图1,在等腰梯形。中，ADi1BC,是/8的中点，过前E作EFI18C交CD于点、尸.A=4fBC=6,N3=600(1)求点后到RC的距离；(2)点F为线段船上的一个动点，过P作EMd,即交BC于点时，过M作MNRAB交折线ADC于点N,连结EM,设EP=x.当点N在线段血)上时(如图2),APAW的形状是否发生改变？假设不变，求出AEAW的周长；假设改变，请说明理由；当点N在线段OC上时(如图3),是否存在点P,使AZAW为等腰三角形？假设存在，请求出所有满足要求的X的值；假设不存在，请说明理由.:二0JM图1三B1iC图4（备用）AACD空AEBD.在AABE中,

10、VAE2+BE2=42+32=25=AB2,.bd=Jbe?j=322=13N）D/DD4.725A用途;长cB/PCAD到E,使MDE=AD,连结图2图3BE,25题）At.DAE=2AD=2X/2=4.在AACDV尸D/,.AD=EB1iCD,ZADC=Z图5（备用）EDB,CD=BD,AOBE,BE=AC=3.NE=90.：BC=2BD=2答案：1.22.B37 .(1)连接DE,那么在RIZXABD中，DE是斜边上的中线，DE=BE=DCVDGECAG是CE的中点(2) VDE=BEAZB=ZEDB,ZEDB=ZECD+ZCED=2ZECDZB=2ZBCE8 .延长CE交BA的延长线于

11、点G.YE是AD中点，AE=ED,VABCD,ZCDE=ZGAe,ZDCE=ZAGE,CEDGEA,CE=GE,AG=DC,.GB=BO3,EBEC.9 .VE是AC中点，ADBCDE=ECNC=NEDC=NBDFYZABC=2ZC=2ZBDF,ZBDF=ZBFD,ABF=BD10 .作DHBE,交AC于点H,DH=12BE=2,BE平分NABC,AD_1BEAF=FD=3TBE/DH：.FE=12DH=1BF=3,AB=3五11 .四边形AFCD是平行四边形，所以四边形AFCD的面积是12cm2o三角形FCD的面积是6cm%V F是BD的中点，FBC的面积=4DFC的面积=6cm20V E为

12、BC中点，.aBEF的面积二ZBCF面积的一半=3cm2o又.AF=2EF,ABFA的面积;ABEF的2倍=6cm2V 四边形ABCD面积=24cm212 .(1)FHAD且FH=AD/2,FGBE且FG=BE/2/.FG1FHJb1FG=FHZiFGH是等腰直角三角形(2)连接AD、BE易证得aACDgZBCE,AD_1BE且AD=BE,可知FHAD且FH=AD/2,FGBE且FG=BE/2FG_1FH且FG=FHFGH是等腰直角三角形问题二:ZAGD是直角三角形.13 .问题一:OM=ONRC证明：如图连接BD,取BD的中点H,连接HF、HE,YF是AD的中点，HE/7AB,HF=AB/2

13、,Z1=Z3.同理，HECD,HE=CD2,Z2=ZEFC.VAB=CDHF=HE,Z1=Z2.VZEFC=60o,Z3=ZEFC=ZAFG=60o，GF是等边三角形VF=FD,GF=FD,.NFGD=NFDG=30ZAGD=90otaAGD是直角三角形.解：(1)当点E与点A合时，x=O,y=2x22=2当点E与点AT重合,0y4EttDMFAME=MF在RtAAME中，AE=x,AM=1,ME=4X2+1EF=2ME=24x2+1过M作MNJ18C，语是为N(如卸则MNG=90,NAMN=90,MN=A=AD=2AM.ZAME*ZEMN=90,VZEMG=9O,ZGMN*ZEMN=90,.

14、,.ZAME=ZGMnRtAMvRtNMGAMMEanME1=MG,WMG=2.MG=2ME24x21产TEFxMG=T2Jx2+12x2+1=2x2*2y2x2*2*其中OR2；(2)如图，呼即为P点运动的非离；RtBMG,MGBG3.ZMBG=ZGWG=90-ZBI.1GjUnZBMG=taZGMG=2)GG,=2G=4MGG中，P、P分别是MG、MG的中点，PP是AMGG的中位线；.PP*GG-=2j14、即：克嗦动略名雌为2.在IuAEBa中，NB=60,.N8&G=302BG=BE=1EG=4%?=2即点5到SC的距离为(2)当点在线段力。上运动时，尸AW的形状不发生改变.PM1EF9EG1EF,.PM/EG.：EF1IBC,工RP=GM,PM=EG=&同理M=48=4.如图2,过点P