专题25 概率与离散型随机变量的分布列及期望（学生版）.docx

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1、方法技巧25概率与离散型随机变量的分布列及期望一、概率与离散型随机变量的分布列及期望知识框架二、求随机变量的概率的方法【一】利用古典概型求随机变量的概率1、古典概型的定义：如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。2、求古典概型概率的步骤：(1)判断试验是否为古典概型；(2)利用列举法或排列组合知识求出基本事件总数几与事件A包含的基本事件数机；1.例题【例1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.应从

2、甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率.【例2】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,。四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.2.巩固提升综合练习【练习1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层

3、抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？设抽出的7名同学分别用4B,aD,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件发生的概率.【练习2】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(I)应从老、中、青员工中分别抽

4、取多少人？(H)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A民C。,石,方.享受情况如下表，其中“。”表示享受，“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育OOOO继续教育OOO大病医疗O住房贷款利息OOOO住房租金O赡养老人OOO(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设“为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.【二】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求随机变量的概率1、相互独立事件：(1)定义：对于事件A,B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A,B是相互独立事件

5、.(2)相互独立事件概率乘法公式：尸(Ag)=尸(A)尸(4).2、互斥事件：(1)定义：事件A与事件B在任何一次实验中不会同时发生.(2)概率加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B).3、互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：1 .例题【例1】某商场有奖销售中，购满IOO元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(I)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.【例2】2 2)(3)保持本例(2)条件不变，则该选手

6、恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为.(4)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为.【例3】甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得4分；如果只有一人投中，则“火星队”得2分；如果两人都没投中，则“火星队”得。分.已43知甲每次投中的概率为亍乙每次投中的概率为：；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：(1) “火星队”至少投中3个球的概率；(2) “火星队”两轮游戏得分之和X的分布列和数学期望E(X).(3) 固提升综合练习【练习1】某超市为了了解顾客的购物量及结算

7、时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)X3025y10结算时间(分钟/人)123已知这IOO位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.确定1,y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)23【练习2某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为Q和会现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润

8、120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.【练习3】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为3,g,.设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【练习4】某射手每次射击击中目标的概率是岛且各次射击的结果互不影响.假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得。分.在3次射击中，

9、若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分.记为射手射击3次后的总分数，求J的分布列.【三】利用条件概率公式求随机变量的概率1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和5,在已知事件A发生的条件下，事件5发生的概率叫做条件概率，用符号尸(4A)来表示，其公式为P(MA)=今黑(P(A)0).2、条件概率的求法：(1)利用定义，分别求出F(A)、P(AB),得P(4)=/;(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数小,在事件A发生的条件下求事件3包含的基本事件数2，即P(B1A)=比；%1 .例题【例1】现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次

10、抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为.【例2】将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A1B);,P(BA)=.(2)从123,4,5中任取2个不同的数，事件A=取到的2个数之和为偶数”，事件B=取到的2个数均为偶数”，则P(BIA)=.2 .巩固提升综合练习【练习1】已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为()A32八7一7A.记B.C.D.9【练习2

11、某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为今两次闭合后都出现红灯的概率为最则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A1人2CIaTob,5c,5d2【练习3高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是.三、两个特殊离散型随机变量的分布列及数学期望【一】二项分布1、独立重复试验：(1)独立重复实验的定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.(2)独立重复试验的条件：每次试验在相同条件下可重复进行；各次试验是相互独立的；每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.2

12、、二项分布：(1)二项分布定义：一般地，在几次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A恰好发生上次的概率为P(X=k)=CpkQ-p)n-k,X1 .例题【例U为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取IOO名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过IOOkm/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过IOOkm/h的有25人.在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1

13、名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的车辆为X,求X的分布列.例2一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得一200分).设每次击鼓出现音乐的概率为摄且各次击鼓出现音乐相互独立.设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列；玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？2 .巩固提升综合练习【练习1】甲、乙两

14、位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对ABC三种书籍311有购买意向，已知甲同学购买书籍AB,C的概率分别为一,一,一,乙同学购买书籍AB,C的概率分别为4232 11一,一,一,假设甲、乙是否购买AB9C三种书籍相互独立.3 22(1)求甲同学购买3种书籍的概率；(2)设甲、乙同学购买2种书籍的人数为X,求X的概率分布列和数学期望.【练习2】移动支付、高铁、网购、共享单车被称为中国的新四大发明.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应移动支付,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.求出图中。的值,并求样本中,答卷成绩在80,90)上的人数；以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成绩在80分以上(含80分)的人数为X,求X的分布列和期望.【二】超几何分布1、超几何分布列定义：kn-k在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，贝尸(X=k)=MN-M,品k=0,1,2,，m,其中m=minM,n,且nWN,MN,n,M,NN*X01kmP若随机变量X的分布列具有上表形式，则称随机变量X服从超几何分布.2、超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机