专题24 极值点偏移之和(x1＋x2)型不等式的证明（原卷版).docx

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1、专题24极值点偏移之和(Xi+。)型不等式的证明【例题选讲】X例1(2013湖南)已知函数/(X)=市孑求/(x)的单调区间；(2)证明：当/(x1)=(x2)(x1x2)时，x+%20.解析(1)函数/()的定义域为(一8,+).1x1%x1-2x-11%x(-1)2+2/(x)=(市)i+R=(1+/)2/当xO;当xO时，ff(x)O.所以/(X)的单调递增区间为(一8,0),单调递减区间为(O,+).11+x(2)法一：令函数方(X)=/(x)-(一),x(0,+),代入化简得尸(X)=I不9(1一%)。一厂.1-1-X再次局部构造辅助函数，令G(X)=(I一入贮一一,求导得Gx)=-

2、eF(e2%-1).当x(0,+00)时，Ga)0,即G(X)是(0,+oo)上的单调减函数.于是G(x)G(0)=0,则尸(x)0.即产(x)=/(x)/(x)0.所以x(0,+s)时，式x)勺(一x).由X2(0,+),则“V2)勺(一工2)又兀H)=/(X2),即得五用)勺(一工2).根据(1)知“X)是(一8,0)上的单调增函数,而X(-,0),2(-,0),所以XX2,故%1+X2O得证.法二：不妨设X1VX2,要证明X1+%20,即X1VX2V0,只需证明了(X1)V/(一兄2),因为/(用)=/(%2),即/(%2)/(%2).而/(%2)/(一42)等价于(1%2)/巧一1X2

3、0),则g,(x)=(1-2x)e2x-1,令/z(x)=(12x)/x1,贝J(%)=4xvo,所以z()单调递减，z(x)z(O)=O,即g%x)O,所以g(x)单调递减，所以g(x)Vg(O)=O,得证.1X1-1-%法三：先证明：x(,+),f(x)f(-x),即证+工2。V+x2r，1IV此不等式等价于(1X)e丁0.1X令g(x)=(1-)ex-r,则gf(x)=xe-(e2x-1).1X当x(0,+),g(x)O,g()单调递减，从而g(x)Vg(O)=0,即(1一1)/一得TV0.所以(0,+),/(%)/(%)而X2(0,+),所以/(%2)V/(不2),从而/(X1)V/(

4、%2).9由于不，-2(-,0),/(X)在(一00,0)上单调递增，所以X1V一12,即X1+X2O例2(2016全国I)已知函数式X)=(X2)e%+(x1)2有两个零点.求。的取值范围；(2)设XI，%2是大工)的两个零点，求证：X1+x20时，/(x)在(一8,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增.因为犬1)=e,12)=4,取。满足。0且。翔-2)+。(。-1F=ab2-0,故段)存在两个零点.当0时，由/(x)=0,得X=I或X=In(2).若定一宗贝IJ1n(2o)S1,段)在(1,+oo)上单调递增.当烂1时，危)0,所以危)不存在两个零点.若1,所以外)在(1,In(2

5、)上单调递减，在(In(2。)，+oo)上单调递增.当烂1时，0,所以危)不存在两个零点.综上，。的取值范围为(0,+).(2)分析法不妨设X1X2,由(1)知X1(8,1),X2(1j+),2%2(-,1),府)在(一00,1)上单调递减，所以Xi+%22等价于1)次2%2),即人2一%2)1时，gx)1时，g(x)0,从而乳由)=。2x2)O,故xi+x22.综合法设9(X)=/(2x)一危)，xe%.求导得广(X)=(I-)(e%-er+2).即时，F(x)尸(I)=0,贝1人2一x)/(x)0,即式2x)次x).由题用，X2是犬工)的两个零点，并且在X=I的两侧，所以不妨设X112)勺

6、(2一修).由(1)知函数式X)是(1,+上的单调增函数，且X2,2-(1,+),所以X22X1,故Xi+%22.解析(1)已知得了(x)=x+14*因为五X)存在极值点1，所以/(1)=0,即22a=0,a=1,经检验符合题意，所以。=1.(2y(x)=x+1-a-=(x+I)(I-3(x0)，当。式时，/(x)0恒成立，所以40在(0,+)上为增函数，不符合题意；当40时，由/(x)=0得X=G,当Qa时，力0,所以外)单调递增,当0x时，/(x)0,所以本)单调递减,所以当X=。时，犬X)取得极小值式).又五工)存在两个不同的零点Xi,42,所以犬。)0,即52+(i一。)。一。n。15

7、,作y=%)关于直线X=。的对称曲线gW=2a-%),人2一令z(x)=g(x)fix)-f(2ax)fix)=2a2x-a1n一,2层22则12+瓦=-2+_(1,因为在(0,2)上,hf(x)O,所以(x)在(0,2)上单调递增,不妨设x4h(a)=0,即g(%2)=f(2a-X2)fix2)=),又2q-2(0,a),x(O,a),且“)在(O,)上为减函数，所以20-1224,XIn易知成立，故x+x22.例4已知函数/)=-1+e.讨论犬x)的单调性；(2)设X1，2是人工)的两个零点，证明：xi+%24.解析(1(X)=I+巴当a0时/(x)0,则於)在R上单调递增.当a0,得x1

8、n(-|,则外)的单调递增区间为(一8,in(一力)，令/()m一J，则式x)的单调递减区间为(1n(力，+X1jcX2(2)由7(%)=。得=ex，设g(%)=ex则g(%)=ex由/(x)O,得xO,得x2.故g(x)min=g(2)=-E1时，g(x)O,当xO,不妨设x4等价于X24-Xi,V4x2且g(x)在(2,+上单调递增，要证xi+%24,只需证g(%2)g(4-Xi),Vg(xi)=g(x2)=,只需证g(x)g(4-制)，即_X_,即证C?”4(i-3)+x-10；e1e1设z(x)=e2-4(%-3)+1一1,x(1,2),则/(X)=e?。4q4-5)+1,4m(x)=

9、h,(x)9则加)=4e2-4(-2),V(1,2),.m,(x)勿(2)=0,.z(x)在(1,2)上单调递增,.A(x)A(2)=0,.e2-4(%一3)+一4得证.例5已知函数/(x)=ex2ax(R)若函数/(x)在R上是增函数，求实数4的取值范围；(2)如果函数爪#=/(%)-(-5%2恰有两个不同的极值点七,9,证明：O解得%O,故(%)在(-00,0)单调递减，在(0,+00)单调递增./Z(X)mi11=(O)=I，.41.,x1,x2是极值点,/(石)=0e%1-2ax1-a=0gr(x2)=0-2ax2-a=0两式相减可得：2一小x1-x2所证不等式等价于：厂WOe号JT2

10、,不妨设西，两边同除以产可得:2X1-x9x-x9Ai-je一为_1e2(观察指数嘉的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以使得多项呈占一%的形式)x1-x2从而考虑换元减少变量个数.令才=XIZ1e(。，+)-所证不等式只需证明：Je10,设P(X)=Qe+1,PG)=e，(/(；+1)-t由ex+1可得：e2-(-+1)0,.jpr(x)O,.P(Z1)在(O,+)单调递减，p()p(0)=O,，原不等式成立即X1In2总结提升本题第问在处理时首先用好极值点的条件，利用导数值等于。的等式消去，进而使所证不等式变量个数减少.最大的亮点在于对五士三1n二一的处理,此时对数部分无法再做变形，两

11、边2X-X9取指数，而后同除以e?,使得不等式的左右都是以石-为整体的表达式，再利用整体换元转化为一元不等式.fi1例6已知函数/(%)=三十1hu-1(相R)的两个零点为xi，x2(xi-.)XiXieATII1m1x2m斛析(Iy(X)=一芦+元=2%2，m0,/(x)在(0,8)上单调递增,不可能有两个零点.机0时，由0可解得兄2根，由广VO可解得OVXV2加，.(x)在(0,2m)上单调递减,在(2机，+oo)上单调递增,YY11于是f(X)minf(2加)min-f(X)minf(2/Ii)2,”+112机一1,_m2要使得/(元)在(0,+8)上有两个零点，则赤+1n2机一1V0,解得OV根V,2又/(1)=根一10,f(e2)20,即根的取值范围为(0,-).令则/)=加1gn11,由题意知方程加一21n%1=0有两个根力，5即方程m=j2有两个根九,t?,一、H11人1n%+2m11n%+1不妨设%=京，/2=令力=2t，