专题23 抛物线解析.docx

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1、专题23抛物线第一部分真题分类1. （2023.全国高考真题）抛物线y2=2px（p0）的焦点到直线y=x+1的距离为后，贝UP=（）C.22D.4A.1B.2【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为9。其至IJ直线xy+1=。的距离:F0+1+T=0,解得：=2（=-6舍去）.故选：B.2. （2023.北京高考真题）设抛物线的顶点为O,焦点为方，准线为/.尸是抛物线上异于。的一点，过尸作尸Q1Z于。，则线段尸。的垂直平分线（）.A.经过点。C.平行于直线。尸B.经过点尸D.垂直于直线。尸【答案】B【解析】如图所示:因为线段尸。的垂直平分线上的点到的距离相等，又点尸在抛物线上，根据定义可知，|p

2、。I=IP尸I，所以线段FQ的垂直平分线经过点尸.故选：B.3. （2019全国高考真题（文）若抛物线产=2川（QO）的焦点是椭圆J+皂=1的一个焦点，则P=3pPA.2B.3D.8C.4【答案】D【解析】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点g,0)是椭圆;=1的一个焦点，所以3=修，解得夕=8,故选D.4. (2023.北京高考真题)已知抛物线Uy?=,焦点为方，点/为抛物线C上的点，且FM=6,贝UM的横坐标是；作MN_1X轴于N,贝IJSbMN=.【答案】545【解析】因为抛物线的方程为V=4x,故=2且*1,0).因为IMF1=6,xm+-=6,解得XM=5,故=2行，所以S=(5-1

3、)25=45,故答案为：5,45.5. (2023全国高考真题(文)抛物线C的顶点为坐标原点。焦点在X轴上，直线/：=1交C于P,。两点，且。尸，OQ.已知点M(2,0),且CM与/相切.(1)求GM的方程；(2)设4,4,A是C上的三个点，直线44，AA3均与M相切.判断直线AA与M的位置关系，并说明理由.【答案】抛物线Uy?=，”方程为(x2)2+y2=i；(2)相切，理由见解析【解析】(1)依题意设抛物线Uy2=2pxS0),P(1,%),Q(1,-%),OPOQ,.OPOQ=1-y1=1-2p=0,.2p=1f所以抛物线。的方程为丁=,M(0,2),“与1=相切，所以半径为1,所以DM

4、的方程为(-2)2+=1;(2)设A(X1y1),4(%2,上),4(%)若44斜率不存在，则A&方程为=或=3,若44方程为x=i,根据对称性不妨设ACU),则过A与圆M相切的另一条直线方程为y=,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在人，不合题意；若44方程为=3,根据对称性不妨设4(3,百),4(3,-6)，则过AI与圆加相切的直线AA为y-i=f(%-3),v%-必_1_1.v-O乂AiA3,-/T-+y33+y33X3=o,4(0,0),此时直线AA,44关于X轴对称，所以直线4A与圆加相切；若直线44,44,A斜率均存在，7111则人=K1=K1=所以直线44方程为y-%),M十

5、%整理得A(%+%)y+%=o,同理直线AA的方程为-(%+为川+%为=，直线44的方程为%(%+为):+%=。，12+yIAA与圆M相切，k/、2=1+(+y2)整理得(-Dyf+2必+3-片=O,AA与圆M相切，同理(y；T)尺+2%为+3-J=O所以%，%为方程(犬T)/+2%y+3-=O的两根,_2%3射%+%=2%,%=，MT%TM到直线44的距离为：二y；+iiJ+，(、；一1+4弁y；+i所以直线4A与圆加相切；综上若直线A4,AA与圆加相切，则直线44与圆M相切.6. (2023.浙江高考真题)如图，已知尸是抛物线y2=2px(p0)的焦点，是抛物线的准线与X轴的交点，且IMF

6、I=2,(1)求抛物线的方程；(2)设过点尸的直线交抛物线与人B两点，斜率为2的直线/与直线朋A,MB,AB,X轴依次交于点P,Q,R,N,且IRNF=PNHQN求直线/在X轴上截距的范围.【答案】(I)y2=4x;(2)(-,-7-43-7+4A1)(1,+).解得几-74/或一7+4百zz1.故直线/在X轴上的截距的范围为-74、或一7+4百zz0）,点A是椭圆G与抛物线g的交点，过点A的直线/交椭圆。于点S交抛物线G于（8不同于A）.（I）若=4,求抛物线G的焦点坐标；（II）若存在不过原点的直线/使为线段AB的中点，求夕的最大值.【答案】（I）（,（）；（II）叵3240【解析】（I）

7、当=时，g的方程为/=：元，故抛物线g的焦点坐标为（4,。）;16832（II）设4（%,）,5（尤2，%），拉（尤0，%），I.x=y+m,由卜+2y（2+2y2+2my+m2-2=0,x=y+m、7-2m-m.Im/.y+%=,yn=y,=yn+m=，122+2202+22002+下2m24pm2m.由在抛物线上，所以二中二中二，又|y2px_2p（y+m）y2-2py-2pm=0,x=y+m.,.y1+J0=2p,/.x1+xq=Ay1+m+Ay0+m=2p1+2m,/.X=2p2+2mK.12+22，2.1FV-1OC由彳27nx+4px=2,:.即12+4内_2=0V=2pxn2+y

8、4p2+2=2p2+2m-1+222+所以,422+218）,p2&,p嘤所以，夕的最大值为叵，此时A（40法2：设直线/:%=冲+%（机00）,A（x0,y0）.将直线/的方程代入椭圆G:3+V=I得：（机2+2）/+2机9+产一2=。,所以点的纵坐标为为m+2将直线I的方程代入抛物线C2:/=2px得：y2-2pmy-2pt=Q,所以为为=-2。，解得%=2p（J+2）,因此=22（苏+2）,mm2由2+y；=1解得二=4+2+ifm+-.160,2pm）mJ所以当机=时，夕取到最大值为.5408.（2019北京高考真题（理）已知抛物线CN=-2py经过点（2,-1）.（I）求抛物线C的方

9、程及其准线方程；（II）设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点，N,直线y=T分别交直线OM,ON于点A和点A求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【答案】（I）X2=_4y,=1;（II）见解析.【解析】（I）将点（2,-1）代入抛物线方程：22=2夕x（-1）可得：P=2,故抛物线方程为：x2=-4y,其准线方程为：y=1（）很明显直线/的斜率存在，焦点坐标为（。,-1）,设直线方程为了=h-1,与抛物线方程-=-4y联立可得：+4fcc-4=0.故：x1+x2=-4k,xix2=-4.设M仆卜，一三，贝必OM=一今,左ON=一5，（Z1、（4、直线ON的方

10、程为=-3%,与y=T联立可得：A-,-1,同理可得B,-1,4U）E）（22、22易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：一+一,-1,圆的半径为：，IX1X2JX1X2且:2+2二虫3=2左，上一2二2广匚5二2后71，X1x2x1x212x1则圆的方程为：（2左F+（y+if=4（r+1）,令X=O整理可得：y2+2y-3=0f解得：y1=-3,J2=1,即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0,-3）,（0,1）.第二部分模拟训练1.已知抛物线2=4y的焦点为方,过方的直线/与抛物线相交于A，6两点，po,-PBAB,贝U1AF1=()B.2D.33A.一2【答案】D【解析】由题意可知，F

11、(O9I),设AX1,/,Bx2,BF=zT24一(X27则尸B=x29+-I42)因为？且A，B,b三点共线，则由ABjR8=0可得B齐jR6=0,所以_/2+g14j=,即4+26x22-56=0,解得J=2或92=28(舍)，所以z=J5设直线AB的方程为y=Ax+1,与抛物线方程联立，y=kx+1r-2，消去得X2-4AX-4=0，则XIX2=-4,所以1=2.X=4y贝”=2.所以IW=X+f=2+1=3.故选：D.2.已知抛物线c：2=o的焦点为尸，若点在抛物线。上，且M典=g,则点到y轴的距离为()A.2B,25C.4D.210【答案】A【解析】根据抛物线的定义，得至UMT=XM

12、+5=%+g=g,解得%=2,即点到y轴的距离为2.故选：A.3.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为产，准线为/,过点尸的直线交抛物线于A、5两点，过点A作准线/的垂线，垂足为,当A点的坐标为卜6,%)时，_4所为正三角形，则此时Q45的面积为()A.43B.33C.53D.63【答案】A【解析】由抛物线定义得：IAE1=IA典=30+g,由AAE5为正三角形知，直线AB的倾斜角为60。，I石M二2夕，故3省+=2p,p=23,直线A5的方程为y=g),a(33,6)抛物线方程为：=43x,y=3(x-3)联立彳1得:3x2-103+9=0,j2=43x(也)所以点5的坐标为，-?,13所

13、以SAQAB=-36+2=43.故选：A.3.已知以圆C：(x1)2+/=4的圆心为焦点的抛物线G与圆在第一象限交于A点，6点是抛物线C2:=8y上任意一点，JBM与直线y=-2垂直，垂足为“，则IBMIIAB的最大值为()A.1B.2C.-1D.8【答案】A【解析】因为C：(x-1f+y2=4的圆心(1,0)所以以(1,0)为焦点的抛物线方程为y2=4,y1=4x由/、29，解得A（12）,（x-1）+/=4、7抛物线G：/=8y的焦点为尸（0,2）,准线方程为y=-2,如图，即有忸MTAB1=忸用Tabaf=i,当且仅当A反尸（A在民尸之间）三点共线，可得最大值1,故选：A4.已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为尸，O为坐标原点，AB为抛物线。上两点,IAo1=IA分AF+F则AB的斜率不可能是（）4A.B.-22C.22D.叵32【答案】D【解析】因为尸为抛物线UV=2px（p0）的焦点，所以尸g）,又IAoI=IA可，即A为等腰三角形，所以又点A在抛物线V=2外上,所以）；=2。义/=弓，则以所以由抛物线的焦半径公式可得：I”I=XA+5=：P，又w+m=半，所以Im=学，即小=子，所以演=p,则为2=2/,即%=何，所