专题26 期望、方差及正态分布的实际应用（学生版）.docx

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1、方法技巧专题23期望.方差及正态分布的实际应用一、期望、方差及正态分布的实际应用知识框架二、期望与方差的实际应用1、离散型随机变量的期望：(1)若离散型随机变量4的概率分布为 则称E=X1P1+%2必+Z0z+为4的数学期望(平均值、均值)简称为期望。 期望反映了离散型随机变量的平均水平；是一个实数，由自的分布列唯一确定； 随机变量J是可变的，可取不同值；石&是不变的，它描述J取值的平均状态.(2)期望的性质:后(U)=C(C为常数) Ea+b)=aE+b(力为常数)若JJB(XP),则E1J=叩(二项分布)2.离散型随机变量的方差(1)离散型随机变量的方差：设离散型随机变量J可能取的值为七,

2、42,，乙，且这些值的概率分别为P1,P2,P3，Pn，则称。E=(%_Ee)2P+(2-E)2P2+(居-E)2pn+为J的方差。1 反映随机变量取值的稳定与波动；2 反映随机变量取值的集中与离散的程度；3 .例题【例1】(产品检验问题)已知：甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件，乙盒子内有5个正品元件和4个次品元件，现从两个盒子内各取出2个元件，试求：(I)取得的4个元件均为正品的概率；(II)取得正品元件个数的数学期望.【例2】(比赛问题)4B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成2绩，每场中小队胜的概率为一，设各场比赛的胜负相互独立.3(1)求A队夺冠的概

3、率；(2)设随机变量可表示比赛结束时的场数，求E.【例3】(射击，投篮问题)甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为1,乙每次投中的概率为1.求：43(1)乙投篮次数不超过1次的概率；(2)记甲、乙两人投篮次数和为自，求之的分布列和数学期望.【例4】(选题，选课，做题，考试问题)(1)求该题被乙独立解出的概率。(2)求解出该题的人数占的数学期望和方差。【例5】(试验，游戏，竞赛，研究性问题)某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满IoOO元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为若中奖，则家具城返还顾客

4、现金1000元，某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为昌元.(I)求己的所有可能取值；(II)求之的分布列；(III)求&的期望E.4 .巩固提升综合练习【练习1】(旅游，交通问题)春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为g,用。表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：(I)随机变量的分布列；(II)随机变量J的期望.【练习2】(摸球问题)甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球；乙盒有标号分别为1、2、n(n2)的“个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为1和的概率为，12,（I）求”的值

5、；（2）现从甲、乙两盒各随机抽取1个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数，则得分为1若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的2个小球得分之和为求J的数学期望E2【练习3（摸卡片，数字问题）在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1,2,3,4,5,6,现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.（I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；（II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由.【练习4】（入座问题）编号1,2,3的三位学生随意入坐编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设

6、与座位编号相同的学生的个数是2（1）求随机变量J的概率分布；（2）求随机变量J的数学期望和方差.【练习5】（信息问题）如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2,现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为2（I）写出最大信息总量4的分布列；（II）求最大信息总量J的数学期望.【练习6（路线问题）如图所示，质点P在正方形，BCD的四个顶点上按逆时针方向前进.现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字.质点P从八点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1,质点P前进一

7、步（如由八到B）；当正方体上底面出现的数字是2,质点P前两步（如由X到C）,当正方体上底面出现的数字是3,质点P前进三步（如由八到D）.在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.（I）求点P恰好返回到八点的概率；（II）在点P转一圈恰能返回到八点的所有结果中，用随机变量可表示点P恰能返回到八点的投掷次数，求的数学期望.D1Ic三、正态分布的实际应用1.例题【例1】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,5()2)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为Po,则PO的值为()(参考数据：若XN(,1),则P(-X+)=0.6826；P(-2X+2

8、cr)=0.9544；P(-3X+3)=0.9974.)【例2】设随机变量XN(11),其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ZBCO中随机投掷IOOOO个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若XN(内?),则尸(一OVXV+er),P(-2X+2)A.7539B.7028C.6587D.6038【例3】在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.经计算样本的平均值481,标准差b6.2.为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X,并根据以下不等式进行评判：P(-X+)0.6828；P(-2X+

9、2)0.9544；P-3X+3)0.9974.评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.试判断该份试卷被评为哪种等级；【例4】某校高二学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X服从正态分布n(0,1()2),从中抽取一个同学的数学成绩记该同学的成绩90J0为事件A,记该同学的成绩80J100为事件6,则在A事件发生的条件下6事件发生的概率P(gA)=.(结果用分数表示)附参考数据：P(-Xz+cr)=0.68；P(-2Xz+2c)=0.95；P(-3cri2)=m,尸(8X10)=则工+工的mn最小值为.【例6】从

10、某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值元和样本方差/(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(II)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(4,b2),其中近似为样本平均数元，/近似为样本方差(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果，求附：1512.2若Zn(4q2)则crz4+b)=0.6826,P(-2Z+2)0.9

11、544.2.巩固提升综合练习【练习1】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布n(oj2),从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(,b2),则bJ4+b)=68.26%,2b4+2b)=95.44%.)【练习2】在如图所示的正方形中随机投掷IoooO个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(M)的密度曲线)的点的个数的估计值为A.2386B.2718C.3413D.4772附：若XN(,z),则P(-bX+b)=0.6826,P(4-2bX+2b)=0.9544.【练习3每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身

12、高都是有差异的，我们国家会定期进行。18岁孩子身高体重全国性调查，然后根据这个调查结果制定出相应的各个年龄段的身高标准.一般测量出一个孩子的身高，对照一下身高体重表，如果在平均值标准差以内的就说明你的孩子身高是正常的，否则说明你的孩子可能身高偏矮或偏高了.根据科学研究。18岁的孩子的身高服从正态分布在某城市随机抽取I。名18岁男大学生得到其身高(CnI)的数据.(1)记X表示随机抽取的100名18岁男大学生身高的数据在(4-2b,+2b)之内的人数，求尸(X99)及X的数学期望.(2)若18岁男大学生身高的数据在(4-2b,+2b)之内，则说明孩子的身高是正常的.(，)请用统计学的知识分析该市

13、18岁男大学生身高的情况;Qii)下面是抽取的100名18岁男大学生中20名大学生身高(C机)的数据:_J2020I120V经计算得X=KZ%1.72,S=J工卜可=x-20x20.06,其中七为抽取的第20z=V20曰V203=)i个学生的身高，1=1,2,3,20.用样本平均数输作为的估计值，用样本标准差S作为。的估计，剔除(2b,+2b)之外的数据，用剩下的数据估计和。附：若随机变量Z服从正态分布n(,c2),则2bZv+2b)=0.9544,o.95441000.0094.【练习4】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：C

14、m).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布NG/,/).假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3b,+3司)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望;一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(-3b,4+3b)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.O19.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95116t1616经计算得M=京七=9.97,3=匕2（%_左）2=/（2片-16x2）1。z=V16Z=IYIoZ=I0.212,其中七为抽取的第，个零件的尺寸，2,，16.用样本平均数元作为的估计值A，用样本标准差S作为。的估计值3,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除4-3无口+3彷之外的数据，用剩下的数据估计和。(精确到0.01).