因式分解方法大全.docx

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1、因式分解方法大全(一)因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。因式分解方法灵活，技巧性强。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。因式分解的主要方法：提公国式法；运用公式法；分组分解法；十字相乘法；添项折项法；配方法；求根法；特殊值法；待定系数法；(io)主元法；(11)换元法；(综合短除法等。一、提公因式法：ma + mbme = m(a + 6 + c)二、运用公式法：平方差公式：a2-b2=(a

2、+ b)(a-b)完全平方公式：a22ah + h2 =(ab)2立方和公式：a3+b3=(a + b)(a2-ab-b2)(新课标不做要求)立方差公式：a3-b3=(a-hXa2-ah + b2)(新课标不做要求)(5)三项完全平方公式：a1 +2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (tz + + c)2(6) / -1- b + i 3abc = (a + + c)( b + c cb be cc)三、分组分解法.分组后能直接提公因式例：分解因式：2ax- lay + 5by -bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式:(2奴-x) + (-0ay + 5by)=

3、x(2a -b)- 5y(2a 一 b)= (2a-b)(x-5y)解法一：第一、二项为一组；第三、四项为一组。解：J= (2ax -1 Oay) + (5by - bx)=2a(x - 5y) - b(x - 5y)= (x-5y)(2a-b)分组后能直接运用公式或提公因式例：分解因式：a2 -2ah-h2 -c2解：原式=(2-2加/)-/= (a-b)2 -c2-a-b + c)a-b-c)四、十字相乘法.凡是能十字相乘的二次三项式ax1+bx + c,都要求 = 2-4ac 0而且是一个完全平方数。二次项系数为1的二次三项式：x2+x + c,条件：如果存在两个实数P、q ，使得C =

4、&且b = p +乡，那么2 + /7 M C 阱)”走例1、分解因式：x2 +5x + 6分析：将6分解成两个数的积，且这两个数的和等于5。由于6=23= (-2) (-3)=l6=(-l) (-6),从中可以发现只有2X3的分解适合 ， 即 2+3=5 o12X解：2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2313= (x + 2)(x + 3)12+13=5二次项系数不为1的二次三项式ax1 +bx + c条件：(1) a = aa2c1X(2) c = c1c2a2 c2(3) b = aic2 +a2clb-axc2 +a2cl分解结果：ax2 + /?% + C =

5、 (, X + c1 )(6f2 + c2)例2、分解因式：3x2-11x+10分析：1、/一23-5(-6) + (-5) = -11解：3%2 1 lx 10 = (x 2)(3x 5)二次项系数为1的齐次多项式例3、分解因式：m2 -6m + 8n2解：原式二 m + (-2n) + (4n)m + (2n)(-4n)1-2nX= (m-2n)(m -4n)1一 4n(-2n) + (-4n) = -6n二次项系数不为1的齐次多项式例 4、2x2 -Jxy + 6y21、 ,一2y2- 3y(-3y) + (-4y) = -7y解：原式二(x 2y)(2x 3y)五、添项、拆项法：(1)

6、、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项(或几项)适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1、因式分解q2-Z+4q + 2h + 3解析：根据多项式的特点，把3拆成4+ (-1),解:a2-b2 +4a + 2b + 3=cr -b2 +4。+ 2 + 4-1= (tz2+46z + 4)-(Z?2-2/? + l)= (tz + 2)2-(-l)2=(q + + l)(a Z7 + 3)例2、因式分解x3+6x2+11x + 6解析：根据多项式的特点，把6/拆成2,+4/；把1我拆成8x + 3x解：x3 +6x2 +1 lx + 6=(x3

7、 + 2x2 ) + (4x2 + 8x) + (3x + 6)= x2(x + 2) + 4x(x + 2) + 3(x + 2)=(x + 2)(x 4x + 3)= (+I)(x+2)(x+3)(2)、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例3、因式分解+4j解析：根据多项式的特点，在/ +4;/中添上4/儿_4/),2两项，解：x4+4=(x4 +4x2y2 +4y4)-4x2y2= (x2+2y2)2-(2xy)2=(x2 2, + 2j2)(x2 -2xy + 2y2)例4、因式分解x3-3x2+4解析：根据多项式的特点，将一32拆成_4元2+%2,再添上4,-4两项，则解：-3x2+4=x3 -4x2 +4x + x2 -4x + 4=x(x2 - 4x + 4) + (x2 - 4x + 4)=(x2 -4x + 4)(x + l)= (x + 1)(x-2)2六、配方法。对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例：分解因式f+6%-72解：x 6x 72=x2 6x+9-9-72= (x + 3)2-92= (x+3+9)(x+3-9)= (x+12)(x-6)