因式分解知识点总结.docx

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1、第一讲因式分解一，知识梳理1 .因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：-ax + -bx = -x(a-b)333因式分解，应注意以下几点。1 .因式分解的对象是多项式；2 .因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3 .分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4 .公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5 .结果如有相同因式，应写成幕的形式；6 .题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2 .因式分解的方法：(1)提公因式法：定义：如果多项式的各项有公因式

2、，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数一一取各项系数的最大公约数,字母一一取各项都含有的字母指数一一取相同字母的最低次累例：12a3b3c- Sa3b2c3 + 6a4b2c2 的公因式是解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;字母部分/2 3,。 至2都含有因式/从入 故多项式的公因式是2 a3b2c.提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多

3、项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例1：把12。% 18。力2一24/分分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次第是ab,故公因式为6abo解：2a2b-Sab2 - 24aV=6必2。-3b-例2：把多项式3(x-4) + x(4-x)分解因式解析：由于4 x = (x4),多项式3(x 4) + x(4 x)可以变形为3(无4) x(x4),我们可以发现多项式各项都含有公因式(x-4 ),所以我们可以提取公因式(x-4)后,再将多项式写成积的形

4、式.解：3(x4) + 冗(4 x)= 3(x-4)-x(-4)= (3-x)(-4)例3：把多项式一+2x分解因式解：-x2 +2x = -(x2 - 2x) = -x(x - 2)(2)运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。.逆用平方差公式：a1 -b2 = (a + b)(a-b)b.逆用完全平方公式：a2 2ab + b1 =(ab)2c.逆用立方和公式:a3 3 = (a-hb)(a2 - + /)(拓展)d逆用立方差公式：6z3 -3 = (a-b)(a2 +b + b2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一个数、一个单

5、项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1：因式分解-14q + 49解：I%+ 49 = (。-7)2例 2：因式分解+2S + c) + S + c)2解：+2S + c)+ S + c)2 = ( + +c)2(3)分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式。一。+一1分解因式解：ab-a+b-l = (ab-d) + (b-) = a(b-Y) + (b-V) = ( + l)(Z-l)将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式/一2必一 1 +因式分解解：c 2a

6、b 1 + b= (a2 -2ah + h2)- =(a-h)2 -1 = (a-b + )(a-h-)(4)十字相乘法(形如一+(p+q*+4=(+p)(+形式的多项式，可以考虑运用此种方法)方法：常数项拆成两个因数P和夕，这两数的和+ 4为一次项系数x2 +(p + q)x+ pq = (x+ p)(x + g)例：分解因式/一-30补充点详解我们可以将-30分解成pq的形式，使 p+q=-1, pXq=30,我们就有 p=6,q=5 或 q=-6, p=5o所以将多项式X2 +(p + 4)x+ pq可以分以分解为(x+ p)(%+q)分解因式+52 + 100补充点详解我们可以将100

7、分解成Pq的形式，使 p+q=52, pXq=100,我们就有 p=2,q=50 或 q=2, p=50o所以将多项式/ +(p + q)x+ pq可解为(+ p)(x + q)x x 30 = (x - 6)(x + 5)x2 +52x+100 =(x + 50)(x+2)3.因式分解的一般步骤:如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式,通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字二注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解,若题H没有明确指

8、出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。一、例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数一一取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幕.【例1】分解因式：(l)15(-)2 -0ah(b - a)2, (为正整数)4a2nbm -6优a。加-1 (？、为大于1的自然数)【巩固】分解因式：(犬-(x-z)(x-+2(y-犬)2”(y-z), 为正整数.【例2】先化简再求值，y(y) + (y)(-y)-2,其中 = -2, y = -.22【巩固】求代数式的值：(3x 2)2(2x+l) (3x 2)(2x +1)?+(2x +1)(2 3x),其中工=一_.322221【例 3】 已知：b + c-a = -2 ,-a(c-b-c) + b(-c a + b) + -c(2b + 2c-2a)的值.33333【巩固】分解因式：x3(x+ y- z)(y + z ) + x2z(z-x-y) + x2y(z-x-y)(x-z-a).