[寒假]圆锥曲线轨迹方程的求法.docx

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1、圆锥曲线轨迹方程的求法0603班杨金梅指导老师陈引兰一直以来，圆锥曲线这部分内容都是高考必考内容，作为解析几何中一个重要的部分，在历次考试中也是让相当一部分考生感到棘手。现在，我就圆锥曲线的轨迹方程的问题作一个归纳总结。在一般情况下，我们对于求圆锥曲线的轨迹方程采用的方法有：直接法，定义法，相关点法，参数法。下面就以上几种方法作一下介绍。一、用直接法求轨迹方程利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。例：已知点A(-2,0),B(3,0)动点P(x,y)满足PAPB=x则点P的轨迹是().A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解：PA=(-2-x,-y),而=(3-x,-y),pXP=x

2、2则(-2x)(3-x)(-y)(-y)=x2整理得：y2=x+6所以P点的轨迹为抛物线。答案:D.二、有定义法求轨迹方程根据圆锥曲线的基本定义解题。A例：如图，已知圆O的方程为2+y2=100,点A的坐标为G6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程()A卷+|=1错误!未指定书签。B.=1解：由于P为AM的垂直平分线上的点，PA=PM所以IPAI+1POI=IPM+POI=Ie)MI=R=IoOA=6根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为W+=1解答：A错误!未指定书签。错误!未指定书签。三、用相关点法求轨迹方程当动点M随着已知方程的曲线上另一动点C(xo,y

3、o)运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用(x,y)表示(xo,yo)再将Xojo代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。例：如图所示从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(,y),点Q的坐标为(,y),则N点的坐标为(2x-x1,2y-y1).VN点在直线x+y=2上，2x-x1+2y-y1=2又YPQ垂直于直线x+y=2,J三1二1即x-y+y-x=O1又,点Q在双曲线上，.X2-y2=1将X1,X2代入中，得动点P的轨迹方程式为2x2-2y2-2x+2y-1=0四、用参数法求轨迹方程选取适当的参数，分别用参

4、数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.例：(04.成都)过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OAQB,再以OAQB为邻边作矩形Ae)BM,如图,求点M的轨迹方程.解:设M(x,y),A(x1,y1),B(x22)OA的斜率为k(显然k0),则OB的斜率为J.OA所在直线方程为y=kx.代入y2=2px得X尸患，y片OB所在直线方程为y=-rX,代入y2=2px得x2=2pk2,y2=-2pkKAA2d2d即B(2pk2,-2pk)OB=(2pk2,-2pk),0A=(,te)KKOM=OA+OB=借+2pk2,个2pk)所以有x=2p(1-k)2+4p,y=2p4-k)消去4

5、.k)得：y2=2p(x-4p)(p0)即求得M点的轨迹方程。注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的取值范围.除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的求解方法.一.几何法二,交轨法1几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质)例:已知圆的方程为2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(IQ)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是().Ai=1(x0)B52=1(x0)解:如图所示,根据题意及抛物线的图形性质有:令焦点为P.则有IBP1=IBE1AP=AG所以BP+AP=BE+AG=2OF由IoPI=2知BP+AP=4=2a所以a=2,方程为、

6、+(=1且焦点不在AB直线上,所以yW0.解答:D2.用交轨法来求轨迹方程.(一般用于两动曲线交点的轨迹方程,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程)22例:如图所示,垂直于X轴的直线交直线交双曲线点一二I于MN两点，A,A?为双曲线的顶点，求直线A1M与AzN的交点P的轨迹方程，并指出轨迹形状.解:设M(X1,y)则N(x,-y),P(x,y),A1(-a,O),A2(a,O)则AiM的方程为y=(x+a),XdA2N的方程为y=-(x-a)-d22U2将以上两方程联立得y2(x2-a2)由于%-=1,X1-daD22得+=1当a=b时，点P的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆.当ab时，点P的轨迹为椭圆.