立体几何3种角度14种归类（解析版）.docx

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1、立体几何3种角度14种归类目录一、热点题型归纳【题型一】【题型二】【题型三】【题型四】【题型五】【题型六】【题型七】【题型八】【题型九】【题型十】【题型十一】【题型十二】【题型十三】【题型十四】异面直线所成的角1：平移直线法（中位线平移法）异面直线所成的角2：平行四边形、梯形法异面直线所成的角3：垂直异面直线俗称的角的范围与最值（难点）异面直线所成的角：综合直线和平面所成的角1：垂线法直线和平面所成的角2：垂面法直线和平面所成的角3：体积法（距离法）线面角中的范围与最值ll ffj 曰.定义法求二面角的平面角二面角内的角度二面角内的距离综合角度：比大小（难点）二、最新模考题组练12571316

2、180222426283238综述：一、异面直线所成的角：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；hsin。：？（/为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线/的方向向量，为平面的法向量，则线面角。的正弦值为 sin 6 = cos .国拉直驳型帕他【题型一亍异面直线所成的角1：平移直线法（中位线）【例1】如图：已知A是48

3、CO所在平面外一点，AD = BCf E、尸分别是A3、CD的中点，若异面直线AO与8C所成角的大小为。，A。与E尸所成角的大小为.rl l-（- 则/6尸石=）- =22所以异面直线A。与所所成角的大小%号靖故答案为:【答案】或【分析】利用异面直线夹角的定义知/FGE或其补角是异面直线A。与8C所成角，NGFE或其补角是异面直线AO与尸所成角，结合三角形内角和即可得解.【详解】取 4C 中点 G,连接 EG/G QE,G 分别是 A8,AC,CO的中点，.EG8C, FG/AD.NFGE或其补角是异面直线A。与BC所成角， ?GFE或其补角是异面直线AO与石产所成角又AD = BC, ;.E

4、G = FG, 尸GE为等腰三角形,若 NFGE = 9,奥GFE = =三一?若 NFGE = r-9 ,22 2【例2】如图，在四棱锥尸-A3CO中，PAL平面A8CO,四边形A8C。为菱形，ZABC = 6（）且E4 = AB E为AP的中点，则异面直线PC与。E所成的角的余弦值为（）【答案】D【分析】连接AC、BD交于点、0,连接。E,说明异面直线PC与力石所成的角为NOEO或其补角，计算出OE、DE,即可求得cos Z-OED,即可得出结论.【详解】连接AC、BD交于点0,连接O,贝 J OE/PC,因为四边形A3CO为菱形，ACBD = Of则。为AC的中点，且因为E为P4的中点,

5、所以，异面直线PC与DE所成的角为NQO或其补角，.%_1_平面筋。，Bu平面ABC。，.BOLQ4,.DAC, PAAC = A,.,.如_1 平面 PAC, .OEu 平面 PAC, :.OELBD,设 = AB = 2,因为A=BC, ZABC = 60 ,则aA8C为等边三角形,同理可知8也为等边三角形，.od = ao2二寂 =6，同理可得OE = UFT标= 75，DE = AD2AE2 =5，所以，cosOED =器=4=半,DE 53因此，异面直线PC与。石所成的角的余弦值为巫.故选：D.5【例3】空间四边形A8CQ的对角线AC = 10, 30 = 6, M, N分别为AB,

6、 CQ的中点，MN = 7,则异面直线AC和5。所成的角等于（）A. 30oB. 60oC. 90oD. 120【答案】B【分析】取8C的中点P,连接MP, NP,故NM/W或其补角即为异面直线AC和3。所成的角，利用余弦定理可求其大小.【详解】取 8C 的中点 P,连接 MP, NP,则 MPAC 且 MP = AC = 5, NP/BD 电 NP = = BD = 3.22故AMPN或其补角即为异面直线AC和BD所成的角.+小廿小工田r左门人彳力储 MP2 + NP2-MN2 1由余弦定理可知，cos/MPN = 一一，2MPNP 2而NM/W为三角形内角，故ZMPN = 120。，故异面

7、直线AC和3D所成的角为60。.故选：B.【例4】在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖嚅，在鳖膈ABCQ中，AB_1_平面BCD,且AB=5C=CD,则异面直线AC与8。所成角为（）A. 30oB. 45oC. 60D. 90【答案】C【分析】由己知画出图形，找出异而直线AC与5。所成角，求解三角形得答案.【详解】解：如图，分别取 A。、CD、BC、8。的中点 、F、G、H ,连接EE、FG , EG、EH、GH ,可得F AC, FG/BD,则异面直线AC与3。所成角即为DMG （或其补角）. ABLBCf ABLBD, BCtCD,设 AB = BC = CD

8、 = 2,.EF = -AC = 2 , FG = -BD = 2 , EH=-AB = , GH=-CD = 12222又 EH 上平面 BCD, . .EH 工GH,则 eg= i亏/= ,则4EPG为等边三角形，可得NEFG = 60。，即异面直线AC与BD所成角为60。.故选：C.【题型二】异面直线所成的角2：平行四边形、梯形等【例1】已知六棱锥P-A8CDE尸的底面是正六边形，MY ABC9 PA=2ABf则异面直线CD与尸B所成的角的余弦值为（）A.B.矩C.立D.叵551010【答案】C【分析】根据平行关系得到NP8E是是直线CO与P3所成的角（或所成角的补角），再根据余弦定理求

9、解即可.【详解】解：设 A8= 1,则 = 2, AE= -12+12-21 cos 1200 , PE=。4 + 3 =币 BE=2,尸8=m =石与8E平行，NP5E是是直线C。与P8所成的角（或所成角的补角），,直线CO与P8所成的角的余弦值为：cosZPBE4 + 5Z=-,故选：C.22510【例2】已知圆柱的母线长为2,底面的半径为加,四边形A8CO为其轴截面，若点为上底面圆弧A8的中点，则异面直线。石与A3所成的角为（）【答案】D【分析】根据A8CO可确定所求角为NEDC或其补角；由长度关系可求得及:为等边三角形，由此可得所求角.【详解】连接4旦BE, CE,DE,QABCZ),

10、 .OE与A3所成角即为ZEOC或其补角，为圆弧 A6 的中点，.AE = BE,又 AB = 2, .AE = BE = 2,又 AD=BC = 2, . .DE = CE = 2g, fDEC为等边三角形，：./EDC = ：；TT.DE与48所成角为故选：D.【例3】如图，在正方体ABCQ A4G。中，E, F, G, ”分别为A4, AB , BB、,的中点，则异面直线旅与G所成的角等于（）A. 45oB. 60oC. 90oD. 120o【答案】B【分析】利用异面立线夹角的定义，将麻平移至MG（G为A圈中点），通过.G”为正三角形求解.【详解】解：取AB中点用连接MG, MH,则MG

11、EF, MG与GH所成的角等于防与G”所成的角.容易知道4MG为正三角形，ZMGH = o.EF与G”所成的角等于60。故选：B【例4】正方体ABC。-A片GR中，已知E为CC的中点，那么异面直线3G与人后所成的角等于（）A. 30oB. 45oC. 60oD. 90【答案】B【分析】作出异而直线BG与AE所成的角，结合余弦定理求得正确答案.【详解】设正方体的边长为2,连接AR,RE,根据正方体的性质可知A8G，所以NE4是异面直线Be】与E所成的角，AR = 22, D、E =区AE = 22+22 + l2 = 3，8+9.5所以 cosE4= J =二，由于 0NE4290o,所以 NE

12、AR =45。.22232所以异面立线8G与AE所成的角为45。.故选：Bc 兀D-【题型三】异面直线所成的角3：垂直7ZBA41 =-ar【例1】如图，在三棱柱AC- AG中，CA = CBf B = AAl3,那么异面直线A3与A。所成的角为【答案】D【分析】取A3的中点。，连接OCOA,A8,然后证明43_1_平面。CA，即可得到答案【详解】取A3的中点。，连接OCOA,A8.AC = BC，。为A片的中点,AB1OC 又A8 = 4VNA4A.ZAZM1为等边三角形又。Cu平面0cA ,。4 i平面0cA.AB，平面。5，又: A】Cu平面ocqASC 即异而直线3与年所成的角为会故选

13、：D【例2】在如图所示的正方体中，M, N分别为棱3C和。/的中点，则异面宜线AN和囱M所成的角为（）A. 30oB. 45oC. 90oD. 60【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线AN平行并且和修M相交的直线，即可找到异面直线所成的角,然后再求解即可.【详解】过点B作用V4V交CG于M，交于。，易知BBM处BCN,所以 28用3 = ZCBV1,而ZBBlM + ZBiMB = 90。,所以NC4N+Ne8 = 90,故/历04 = 90,所以异面直线AN和所成的角为90:故选：C【例3】菱形人8C。的对角线AC、8力的交点为O,尸是菱形所在平面外一点，PO_L平面4BCD,则异面直线AC与PD所成角大小为.【答案】90 #y【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定进行推理即可作答.因 PO_L平面 ABCD, ACu平面 A5CQ,则有 PO_LAC,PO8O = O, P0,8Qu平面 POD,因此，AC_L平而 POD,又 Q）u平而 POD,从而有 AC_LPD,所以舁面直线AC与P3所成角为90 .故答案为：90【例4】若异面直线, A所成的角为彳，且直线则异面直线。，。所成角的范围是-J【答案】邑勺o 2【分析】通过作平行线，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，再构造直角三角形可求出结果.【详解】过尸作利/，/，作直线?