重难突破微专题(五)球的切接问题.docx

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1、重难突破微专题（五）球的切接问题考向一 . “墙角,模型“墙角”模型是指具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征,应用数学建模素养，构建“两两垂直”模型，亦即“墙角”模型，将该三棱锥放入长方体中，把该三棱锥的外接球转化为该长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，即可求出该球的半径.【典例1】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球0的球面上z PA = PB = PC , A3C是边长为2的正三角形，E ,b分别是PA , AB的中点，ZCEF= 90o l则球O的体积为（）A . 86 兀 B . 46 兀 C . 2y 兀 D . 6 兀【解析】选D.因为 =尸3 = PC , SABC为正三

2、角形，所以三棱锥P-ABC为正三棱锥，易知P8J_AC因为E ,b分别为PA , AB的中点，所以EF/PB ,又ZCEF = 90 ,所以PBA.EC ,而ECAC= C ,所以P8_L平面PAC ,又三棱推P-ABC为正三棱推,所以PA ,PB , PC两两垂直且相等，所以P , A , 8 , C可看成边长为也 的正方体的4个顶点，如图所示，此正方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，正方体的体对角线即为外接球的直径，又(2)2 (2)2 (2).考向二“对棱相等”模型“对棱相等”模型是指三棱锥的相对的两条棱相等，应用数学建模素养，构建长方体，将该三棱锥放入该长方体中，使三棱锥的顶点与

3、长方体的顶点重合，将该三棱锥的外接球转化为该长方体的外接球，从而求出该外接球的半径.【典例2】(2021 .济南模拟)在平行四边形A8C。中，AB = 22 , BC = 3，且cosA = W，沿BD BDC折起，使点C到达点E处，且满足AE = AD ,则三棱锥E-ABD的外接球的表面积为.【解析】在aABO中，AB = 2也，AO = 3 ,且cos A=*，由余弦定理得，2=AB2 + AD2 - 2AB AD cos A ,即 BD2 = (22 )2 + 32 - 222 3- = 9 ,解得BD = 3.在四面体A3石。中,AE = BD = 3 , AD = BE=3 f B

4、= ED = 22 ,三组对棱长相等，可将四面体ABED放在长方体中设长方体的相邻三条棱的长分别为-y , z ,其外接球半径为R ,贝J 2 + )2 = 9 , y2 + z2 = 9 , z2 + 2 = 8 ,x2 + y2 + z2 = 13 , gp 27? = 13，所以 R =,13所以三棱锥E-ABD的外接球的表面积为4R2 = 4 = 13.答案：13兀考向三快“汉堡”模型“汉堡”模型是指对于直棱柱，应用数学建模素养，结合球与直棱柱的有关性质,建立，汉堡，模型，上、下底面外接圆的圆心连线构成的线段的中点即为直棱柱外接球球心，球心到各个顶点的距离都等于外接球的半径.【典例3】

5、（2021 .石家庄模拟）已知直三棱柱ABCA/C的底面ABC为等边三角形，若该三棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球的表面积之比为【解析】选D.如图所示，设点0是三棱柱的外接球和内切球的球心，点M是底面等边三角形BC的中心，点N是棱AB的中点，连接OM , MN , AM , 0A.设AB2a ,则MN 二呼a l MA = W a因为三棱柱的内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形的内切圆的直径也是三棱柱的内切球的直径，所以 0M - MN 二* Q ,即三棱柱的内切球的半径尸二坐。，则AM =a，所以OA = j0M2 + AM2 =153 a 1即三棱柱的外接

6、球的半径R二华a .4?0所以内切球的表面积为4兀7二,兀次，外接球的表面积为4R2 = y兀/，所以三,204棱柱外接球和内切球的表面积之比为当兀/：彳兀”=5 ： 1.考向U!“心有所依”模型“心有所依”模型是指对于圆锥、圆台、侧棱相等的棱锥等几何体，可得球心必在该几何体的高所在的直线上，或者在棱推一个底面的高所在直线上，由此可把相关信息集中到某一个直角三角形内，利用勾股定理求解.【典例4 （2021 .十堰模拟）已知三棱推M-ABC的!1!个顶点均在表面积为32的球面上fAB = BC = 2y2 lAC = 4l则三棱锥M-ABC的体积的最大值为（）A . 82B . 4 + 428

7、+ 8216小C . o D - -【解析】选C.根据题意可知，4A8C是一个直角三角形，其面积为4 ,其外接圆的圆心在斜边AC的中点上，设圆心为Q，连接MQ（图略），当MQ与平面ABC垂直且MQ大于球的半径时，三棱锥M -ABC的体积最大.设球心为0 ,半径为R ,由42 = 32兀，得R = 2i，点。到平面ABC的距离为（24）2 - 2?二 2 ,18 + 82所以三棱锥M-ABC体积的最大值为4（2 + 22 ）= .考向五。“双心，模型“双心模型：无法利用上面四种模型求解的问题，可利用球心、三角形（或四边形等）外接圆的圆心以及外接圆与球的交点所构成的直角三角形进行破解.【典例5】（

8、2021 ,荆州模拟）已知三棱锥。-A8C的四个顶点在球。的球面上，若AB = AC=BC=DB = DC= f当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球。的表面积为（）5A .9 B . 2 C . 520D . -r-【解析】选A.如图所示,当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，平面A3CJ_平面DBC BC的中点G ,连接 AG , DG l 则 AG,BC , DGLBC ,分别取ZA3C 与4Q5C 的外心 E , F ,分别过E尸作平面ABC与平面DBC的垂线相交于点。则O为三棱锥D-ABC的夕卜接球的球心.由AB = AC = 3C = DB=OC = 1 ,可得正方形OEGF的边

9、长为*，则0G =*，连接OB l所以三棱锥D -ABC的外接球的半径R = OB =OG2 + BG2 =y （）2 + ）2 =尼,所以球。的表面积为4用25兀=T,考向六，等体积法，模型“等体积法”模型：利用几何体的体积不变，求出所需求的几何体的内切球的半径的方法.【典例6 （2021 .福州模拟）在三棱锥P-ABC中，顶点尸在底面ABC上的射影为A8C的内心，三个侧面的面积分别为12 , 16 , 20 ,且底面面积为24 ,则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为（）4兀atB.12 C.等【解析】选C方法一：如图,不妨设Sapbc= 12 , SPAC =16, Sapab= 20.A

10、设点P在底面ABC上的射影为H ,分别作HDLBC于点D , HEAB于点E ,HFLAC 于点 F ,贝U PDLBC , PEAB ,又 H 为LABC 的内心，所以Rt PDH Rt PFH Rt PEH，故 PD = PF = PE 又 Spbc = BGPD , S用c2 ACPF , Spab 2 ABPE z 所以 Spbc : S%c : Sapab BC ： AC : AB = 12 16 ： 20 = 3 ： 4 ： 5，所以NACB = 90。.令 BC=3x(x0)，贝J AC = 4x , AB = 5x ,所以 Sm8c = ) BGAC = 3x4x = 24，解

11、得了=2，所以 8C = 6 lAC=S ,A5=10.设4A3C的内切圆的半径为r ,贝岭(BC + AC + AB)=Sc ,即:(6 + 8+10)r二24 ,解得r工2 ,故。二2.由 S8c二;BCPD=2,8C= 6 ,得尸。=4 ,所以PH = PD2-HD2 =23 ,所以 V 三棱锥 MBC = g SABCPH = g 2423 =163 .设三棱锥P-ABC的内切球的半径为R ,则V三棱锥P-ABC = 2(S&PBC S丛PAC+ Sapab + Sabc)R，即 164=| (12+16 + 20 + 24)R，解得 R =手 ,所以三棱推P-ABC的内切球的表面积为

12、4R2 =等.故选C.方法二：不妨设S3C= 12 , SMC= 16 , S必3 = 20.设P在底面A3C上的射影为H ,分别作HD_LBC于点D , HEA.AB于点E ,即J_AC于点F（图略），则PDA.HE _HFPE =PFBC , PEA.AB , P/LLAC又 H 为的内心,所以APEHq4PFH04PDH ,故 PD = PF=PE l 且PEH= ZPFH= ZPDH= l 所以 cos =SaabcSPAB SPAC SdPBC 2HD ,. 八 Sahab Shac Shbc c.m 八万万 ,故 cos9 = w =N =e ，所以 cos (9 二ruOPAB

13、B4C BC所以。工60。.又 Sapbc = 2 BCPD , S,pac = 2 CPF , 5b = 2 AB*PE l 所以 Spbc : S/c : Spab = BC : AC ： AB= 12 ： 16 ： 20 = 3 ： 4 ： 5 所以NAC8 = 90。.令 8C = 3x(x0),则 AC = 4x , AB = 5x ,所以 Sabc = BCAC = 3x4x = 24 ,解得 x = 2 ,所以BC=6 lAC = S lAB= 10.设4A8C的内切圆的半径为r ,由直角三角形内切圆半6 + 8 - 10径公式得r = -2一 二2.由题意知三棱锥内切球的球心在PH上，设为点O.由条件知点O也在/PQH的角平分线上，所以内切球的半径R = r tan 30 = ,所以三棱锥P-ABC的内切球的表面积为4兀R2 二号,故选cJD