SF01数Ch12数项级数.docx

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1、SFO1（数）Ch12数项级数计划课时:14时P1341552002.03.08.Ch12数项级数(14时)1级数的收敛性(3时)概念：1 .级数：级数，无穷级数；通项(一般项，第九项)，前项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为与2 .级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数/的敛散性.n1_n1解修|tS”，级数发散；9=1时，S=zz+1+,(m),级数发散；4=1时，5n=(1+(-1)w),(M),级数发散.1综上，几何级数Yqn当且仅当|Sn2,(n).因此，该

2、级数收敛.OOQ例4讨论级数上二的敛散性.Zi5n-32222凸=*ns小*+,(m).级数发散.5-35n553 .级数与数列的关系：un对应部分和数列,EKn收敛。S”收敛；00对每个数列%,对应级数1+Z(z-%_),对该级数，有3“=%.于是,n=200数列收敛O级数X1+Z(Z-匕-1)收敛.n=2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式.4 .级数与无穷积分的关系：+00+1+1(x)dx=E=Z%,其中册=j.无穷积分可化为级数；1=1n=1n对每个级数，定义函数/(x)=Un,x0,3N,nN和VPN,=Iun+1+un+2+,+un+pIIimwn=0.n1例5证明2-2级数

3、收敛.n=1几证显然满足收敛的必要条件.令%=4，则当2时有n1ISI4I1111%+W+2+I=X221IX4、=Z-0.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）1例7（凡0但级数发散的例）证明调和级数发散.Mn证法一（用准则的否定进行验证）（参阅Ch81E2,在教案P84）证法二（证明Szz发散.利用Ch10习题课例2已证明的不等式1n(+1)1h1F-EaUn收敛且有EaUn=aEKrI(收敛级数满足分配律)性质2和收敛，nZ(%V)收敛，且有Z(XV)=XX问题：、Z均、Z(XV)三者之间敛散性的关系.性质3若级数Z%收敛，则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.(收敛数列满足结合

4、律)例8考查级数(-1)从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该n=1例的结果说明什么问题？Ex1P6-718(1)-(3);4P6-721,22,23.2正项级数(3时)一.正项级数判敛的一般原则：1 .正项级数：un0,Sn/;任意加括号不影响敛散性.2 .基本定理：Th1设心o.则级数Z%收敛=Sz1=(XI).且当Z氏发散时，有Sn+,(zz).(证)正项级数敛散性的记法.3.Th2例1解例2系1正项级数判敛的比较原则：设Z%和Z打是两个正项级数，且mN，N时有册丹，则i+，nZ%=+,=Z匕2=+(ii是i的逆否命题)1考查级数的敛散性.n=1nn+1n21n1210,n-,2n-n

5、+1n11设0p2).判断级数/sin1的敛散性.式1q（比较原则的极限形式）设Z与和Z均是两个正项级数且吧:1=/,则iOV/V+8时，EUn和共敛散；ii/=O时，ZvzZ与/=+8时，Z乙=+oo,=Z沅”二+00.(证)系2若例3(1)OO1(1+-n-1设Z%和八是两个正项级数，若%=X），特别地，,(m),则X+oX=+判断下列级数的敛散性：/iii/1;();(2)sint2n-2n-n2nStrI二.正项级数判敛法:1 .检比法：亦称为OMe雨儿加判别法.用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法.Th3设Z%为正项级数，且mN。及9(0乡N时i若qv1,=yX若乜i11,=e=

6、+.un证i不妨设1时就有5qqnx,即unu1qn1.由Oq1,得ZZ%可见册往后递增，=UrI+0,(m).系(检比法的极限形式)设，以为正项级数，且Iimg二夕.则JwuniqZ八q1或q=+,=Z沅,=+.(证)倘用检比法判得Z%=+,则有Kn+0,(m).检比法适用于和+1有相同因子的级数，特别是乙中含有因子M者.例4判断级数225258258(2+3(1)115159159(1+4(-1)的敛散性.A731.n+2+3n3解Iim=Iim=1,nn-1+4n4J例5讨论级数T(X0)的敛散性.Mur+（n+1）xnn+1z、解上_=1%X,（）.unxn-in因此，当Ox1时，Z1

7、时，Z=+oo;%=1时，级数成为Z，发散.rn+1I例6判断级数工%的敛散性.乙nn注意对正项级数Z%,若仅有也,其敛散性不能确定.例如对级数UnY-和均有也0,当N时,i若/E”n若1,=EM=+.（此时有%0,（n）.）（证）系（检根法的极限形式）设52%为正项级数，且Iim苏=/.则ii,=Z%=+.（证）检根法适用于通项中含有与几有关的指数者.检根法优于检比法.（参阅1P1516）例7研究级数3+（T）”的敛散性.12n例8判断级数z(宁)和的敛散性.解前者通项不趋于零，后者用检根法判得其收敛.3.积分判别法：Th5设在区间1,+)上函数/(x)0且.则正项级数与积分+f(x)dx共

8、敛散.1证对VA1,R1,A且5)1/(x)Jx(-1),=2,3,Jn-Immm-1合WJ1f(x)dx0时/(x)在区间1,+)上非负递减.积分Xp1级数F当P1时收敛，n=1M+(x)dx当p1时收敛，0p1时发散.二100,级数发散.npOO1综上，级数当且仅当p1时收敛.n=1H例10讨论下列级数的敛散性:4P31134.习题课(2时).直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时，常用下列不等式：an0,40,n-an+hnan对%,有ISin*1,ICoS*1,ISin*%.Ia也vg(力+配)；特别地，有6Z1O1I00+=),nanan+).n2n2(4)an0时,有1+*I+%1n(1+ri)n.(6)0,an几充分大时，有a7nan.例1判断级数ZF55一的敛散性.占暧+si2(31+5)解孔3时,10.n1解OX1时,-71,(z)=V=+.an+nJ例3设数列有界.证明Z%+8.证设即M,nj1n0,n%-,例50.若1=+,则q；=+qo.n证=(+=+；又X+8,n2nnnYa；=+.例6设%a.若级数Z册和Za收敛，则级数Zg收敛.例7设%O,2O.证明Z为+,+8,nEarIbn+8;Z册和Z2之一或两者均发散时，ZqA仍可能收敛；+,片Z1Q也+.证n充分大时，0anbnDn=43T1M=I例9判断下列级数的敛散性：2+