五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D4.docx

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1、主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。1 .基础复合函数二阶导数2 .函数和差类型二阶导数3 .函数乘积类型二阶导数4 .函数商类型二阶偏导数5 .三角函数二阶偏导数一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(8x+3)4二阶导数。T2：求y=F病的二阶导数。T3：求尸产二阶导数y”的计算过程。T4：计算y=sin(13x+49)的二阶导数。T5：七_9x2cos9x42x求y=e二阶导数。T6：求y=1(5x-J6x2-72)的二阶导数。二、函数和差类型二阶导数T7：求y=6(+43-41的二阶导数。T8：求y=20x95

2、x4-52x+36的二阶导数。T9：求y=x3-7x6+4x+46的二阶导数。T10：计算y=4x6-sin5x的二阶导数。T11：求y-cos(5x5)+x8+e,的二阶导数过程。三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(57-IOx)的二阶导数。T13：y=e5的二阶导数。T14：y=9*5的二阶导数。T15：求y=er2的二阶导数。T16：y=sin11x*cosx,求此函数的二阶导数。T17：z=x1n(18x18y),求其所有二阶偏导数。四、函数商类型二阶偏导数T18：求尸端的二阶导数。A.cV/97T19：函数y2+49的二阶导数。XGX十T20：求y=jq的二阶导数。T21：

3、计算y三等的二阶导数。T22：求y=7x+言的二阶导数。五、三角函数二阶偏导数T23：y=si5求二阶导数。T24：求函数y=cos7xtan10x的二阶导数。T25：求函数y=cos(5x+1Q的二阶导数。了26：求z=sin(x2+7y)的二阶偏导数。T27：求Z=Sin11x+43y）的二阶偏导数。9T28：求函数Z=Sin-2y2+e5的二阶偏导数。X参考答案一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(8x+3)4二阶导数。解：y=(8x+3)4,y,=4(8x+3)3*8,=32(8x3)3,yw=32*3(8x+3)8,=768(8x+3)2oT2：求y=F病的二阶导数。解：y=72-1

4、7x2,y,*72-17x2r*4134x)=17*，72-17x2-:-34xyw=-17*Y#-I=272-17x272-17x21772=V(72-17x2)3T3：求尸产二阶导数y”的计算过程。解：y=e,y,=e8x*8,yff=e8x*8*8=82*e8xoT4：计算y=sin(13x+49)的二阶导数。解：y=sin(13x+49),y,=cos(13x+49)*13,yw=-sin(13x+49)*13*13,=-132*sin(13x+49)oT5：求y=e9x%os9x+42x二阶导数。解：y=e9x%os9x+42x,y,=e9x2cos9x+42Xj|e-9(2xc0s

5、9x-2si9x*9)+42,y,=y9(2xcos9-2sin9x*9)+42,T6：求y=1(5x-6x2-72)的二阶导数解：y=1n(5x-6x2-72),6xyw=y,9(2xcos9-2sin9x*9)42+5?5-6x2-72，56x2-72-6xAJ6x2-72(5x6x2-72)B，B,6：彳(5x-6x2-72)+6x2-72*(5-=j;),二、函数和差类型二阶导数T7：求y=6+43-41的二阶导数。解：y=6x3+43x-41,yr=6*3x2+43,yrr=6*3*2x=62oT8：求y=20x9+5x4-52x+36的二阶导数。解：y=20x95x4-52x+36

6、,y,=180x8+20x3-52,yw=1440x7+60x2oT9：求y=x3-7x6+4x+46的二阶导数。解：y=x3-7x6+4x+46,y,=3x2-42x5+4,yw=6-210x4oT10：计算y=4x6-sin5x的二阶导数。解：y=4x6-sin5x,y,=24x-5cos5x,y1,=120x4+52sin5xoT11：求y=cos(5x+5)+x+e的二阶导数过程。解：y=cos(5x5)+x8+e7,y1二-5sin(5x+5)+8x7,y=-52cos(5x+5)56x6o三、函数乘积类型二阶导数T12:求函数y=x(57T0x)的二阶导数。解：法一：y,=57-1

7、0x+x*(-10)=57-143x,yw=-143o法二：y=x(57-10x)=57x-10x2,y,=57-143x,y1f=-143oT13：y=e的二阶导数。解：y=xe5xy,=ex+5xex,yw=5ex+5ex+52xex,=5ex(2+5x)oT14：y=9*5的二阶导数。解：y=x9*5x,y,=9x8*5x+x9*5x*1n5,y=9(8x7*5x+x8*5x*1n5)+1n5(9x8*5x+x9*5x*1n5)。T15：求y=er3+2的二阶导数。解：y=xe-+2,y1=er3+2+e-x3+2*(Y2),=e3+2-3e3+2*x3,y=e-3+2*(-3x2)-3

8、e3+2*x3(-3x2)+e3+2*3x2,=-3(4-3x3)e3+2*x2oT16：y=sin11x*cos19x,求此函数的二阶导数。解：法一：y=sin11x*cos19x,y,=1Icos1Ixcos19-19sin11xsin19x,yw=-112sin11xcos19-209cos11xsin19-209cos11xsin19-192sin11xcos19x,=-(112+192)sin11xcos19-418cos11xsin19xo法二：y=sin11x*cos19x,由积化和差公式有：y=sin30x+sin(-8x),y=-*30cos30x+-*(-8)cos(-8x

9、),乙乙yw=-*302sin30-*82sin(-8x)o乙乙T17：Z=X1n(18x+18y),求其所有二阶偏导数。解：对方程全微分有：1./yc118dx+18dydz=1n(18x+18y)dx+x18+18y，8xgdz=1n(18x+18y)+1Q.iqdx+xIQuQdy,18x+18y18x+18y则函数z分别对X的一阶偏导数为：6zI/yrc、18x1n(18x+18y)+18+18y.!K，继续求二阶偏导数有：3z_1818(18x+18y)-18xx218x+18y+(18x+18y)2_18324y=18x+18y+(18x+18y)25d2z_182x(18x+18

10、y)2；zVz18OXxyyx18x18y(18x+18y)2四、函数商类型二阶偏导数X-CiRT18：求尸端的二阶导数。A.cVJ,x-+53_143y(x+90)2=(x+90)2；286V=(x+90)3。法二：方程变形为y(x+90)=x-53,两边求导有:y,(x+90)+y=1,再次求导：y,t(x+90)+y,+y,=0,y”(x+90)=-2y,=-2悬,y=-97T19：函数y2+49的二阶导数。XGX十27解：yV-8x42y用商求导法则有:y=-27*2-8(x2-8x+42)2,法二：乘积法，此时y(11+2)=i6x,两边求导有:y,(11+x2)+2xy=16,再次

11、求导有：y(11+x2)+2xy+2y+2xy,=0,2(2xv,+v)yw=-(112再将V和y代入化简,X3y,-640Ti了21：计算尸寸的二阶导数。解：y=sin15xx+3,_15cos15x(x+3)-SinI5xA二(x+3)二(3TT22：求y=7x+T的二阶导数。X-6X解：y=74而；nA,B-AB1y=B2,其中:y,=7+2-622x2-6A,=-152sin15x(x+3)+15cos15x-15cos15x=-152sin15x(x+3),B,=2(x+3),ttT5%in15x(x+3)(x+3)?-2115COSI5x(x+3)-SinI5x(x+3)y=(3T

12、1T52sin15x(x+3)(x+3)-215cos15x(x+3)-SinI5x-6+x2WF；n2x(x2-6)-2(x2+6)V=F-，-64(x2-6)2五、三角函数二阶偏导数(T23：y=sin%求二阶导数。解：y=sin5x,求复合函数求导法则有:y,=5sin4x*cosx;yn=5(4sin3xcos2-sin4xsinx),=5sin3x(4cos2x-sin2x)oT24：求函数y=cos7xtan10x的二阶导数。解：y=cos7xtan10x,求函数乘积求导法则有：y,=-7sin7xtan1x+10cos7xsec210x;y,=-7(7cos7xtan10x+1O

13、sin7xsec210x)+10(-7sin7xsec210x+20cos7xsec21Oxtan1Ox),=-72cos7xtan10-140sin7xsec210x+200cos7xsec210xtan10o4c八十期cos(5x+10),”人D业.T25：求函数尸的二阶导数。X有cos(5x+10)上7上匕斗七解：y=,求函数商求导法则有：1-5sin(5x+10)-cos(5x+10)y=;5sin(5x+10)x+cos(5x+10)A=5=X2B，A,B-AB1一y=不一,其中：A,=52cos(5x+10)x+5sin(5x+10)-5sin(5x+10)=52cos(5x+10

14、)x,B=2x,代入上述二阶导数，有：52cos(5x+10)x*x2-2x5sin(5x+10)x+cos(5x+10),52cos(5x+10)x2-25sin(5x+10)x+cos(5x+10)x3(T26：求z=sin(x2+7y)的二阶偏导数。解：z=sin(x2+7y),由全微分求导有：dz=cos(x2+7y)(2xdx+7dy),=2x1cos(x2+7y),=7COS(x2+7y);oxoy继续求二阶偏导数有：/2cos(x2+7y)-2xsin(x2+7y)x,=2cos(x2+7y)-2x2sin(x2+7y);=-72sin(x27y);xyyx=-2xsin(x2+7y)*7=-14xsin(x2+7y)27:求Z=Si