五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D1.docx

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1、主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。1 .基础复合函数二阶导数2 .函数和差类型二阶导数3 .函数乘积类型二阶导数4 .函数商类型二阶偏导数5 .三角函数二阶偏导数一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(9x+19)4二阶导数。T2：求y=92-172的二阶导数。T3：求y7x二阶导数y”的计算过程。T4：计算y=sin(13x+25)的二阶导数。T5：七_8xcos4x7x求y=e二阶导数。T6：求y=1n(4-82-22)的二阶导数。二、函数和差类型二阶导数T7：求y=10x2+2-42的二阶导数。T8：求y=8x

2、5+28x8-21x+33的二阶导数。T9：求y=x8-9x2+3x+17的二阶导数。T10：计算y=10x5-sin4x的二阶导数。T11：求y=cos(8x+12)+x+e?的二阶导数过程。三、函数乘积类型二阶导数T12:求函数y=x(56T4x)的二阶导数。T13：y=xe的二阶导数。T14：y=5*6,的二阶导数。T15：求y=er8的二阶导数。T16：y=sin14x*cos5x,求此函数的二阶导数。T17：z=x1n(7x+8y),求其所有二阶偏导数。四、函数商类型二阶偏导数X-74T18：求尸甯的二阶导数。x+59T19：函数尸&Q的二阶导数。X-9x+1T20：求尸高的二阶导数

3、。T21：计算丫罟学的二阶导数。YT22：求y=x+石的二阶导数。X/五、三角函数二阶偏导数了23：y=sin10x求二阶导数。了24：求函数y-cos2xtan10x的二阶导数。了25：求函数y=cos(11x28)的一阶导数。(T26：求z=sin(x2+2y)的二阶偏导数。T27：求Z=Sin7(11x+39y)的二阶偏导数。9T28：求函数Z=SinjXV+e的二阶偏导数。X公-+zArf=3参考答案一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(9x+19)4二阶导数。解：y=(9x+19)y,=4(9x19)3*9,=36(9x+19)3,yw=36*3(9x+19)2*9,=972(9x+

4、19)2oT2：求y=92-172的二阶导数。解：y=92-17x2,y=*74，92-17!，t(-34x)=-17*5，92-17x2-:-34xyw=-17*Y#-I=292-17x292-17x217*92=V（92-17x2）3T3：求y=ex二阶导数y”的计算过程。解：y=e7y,=e7x*7,yw=e77*7=72*e7T4：计算y=sin(13x+25)的二阶导数。解：y=sin(13x+25),y,=cos(13x+25)*13,yw=-sin(13x+25)*13*13,=-132*sin(13x+25)oT5：求y=e8x%os4x+7x二阶导数。解：y=e8x%os4x

5、+7x,y=excs4x+7x*8(2cos4x-2Sin4x*4)+7,y,=y8(2xcos4-2sin4x*4)+7,yw=y,8(2xcos4-2sin4x*4)7+T6：求y=1n（4x-后区）的二阶导数解：y=1n(4x-8x2-22),4一8x4x-8x2-22，48x2-22-8xJ8x2-22(4x-8x2-22)BS8,OO不?3x)*(4-诲后),二、函数和差类型二阶导数T7：求y=10x2+2-42的二阶导数。解：y=10x22-42,y,=10*2x+2,yw=10*2*x=5*22XoT8：求y=8x5+28x8-21x+33的二阶导数。解：y=8x5+28x8-2

6、1x33,yr=40x4+224x7-21,yw=160x3+1568x6oT9：求y=x8-9x2+3x+17的二阶导数。解：y=x8-9x2+3x+17,y,=8x7-18x+3,y1,=56x6-18xoT10：计算y=10x5-sin4x的二阶导数。解：y=10x5-sin4x,y,=50x4-4cos4x,yw=200x3+42si4xoT11：求y=cos(8x+12)+x+e的二阶导数过程。解：y=cos(8x12)x11+e2,y,=-8sin(8x+12)+11x10,yn=-82cos(8x+12)+110x9o三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(56-14x)的

7、二阶导数。解：法一：y,=56-14x+x*(-14)=56-133x,yw=-133o法二：y=x(56-14x)=56-14x_-5+8,-5+8-/C-4y-e+xe*(-5x),y,=56-133x,y1f=-133oT13：y=d的二阶导数。解：y=xe4xy,=e4x+4xe4x,y,=4e4x+4e4x+42xe4x,=4e4x(2+4x)oT14：y=5*6的二阶导数。解：y=x=-5(6-5x5)e5+8*x4o*6x,y,=5xy=e-5+8*(-5x4)-5e5+8*x5(-5x4)+e*5力,*6x+x*6x*1n6,y=5(4x=e5+8-5e5+8*x5,*6x+x

8、4*6x*1n6)+1n6(5x4*6x+x5*6x*1n6)o的二阶导数。T15：求y=xe-x8钮-x58解：y-xe,T16：y=sin14x*cos25x,求此函数的二阶导数。解：法一：y=sin14x*cos25x,y,=14cos14xcos25-25sin14xsin25x,yw=-142sin14xcos25-350cos14xsin25-350cos14xsin25-252sin14xcos25x,=-(142+252)sin14xcos25-700cos14xsin25xo法二：y=sin14x*cos25x,由积化和差公式有：y=sin39x+sin(-11x),y=-*

9、39cos39x+-*(-11)cos(-I1x),乙乙yh=-*392sin39-*(-11)2sin(-11x)o乙乙T17：Z=XIn(7x+8y),求其所有二阶偏导数。解：对方程全微分有：1_0、I7dx+8dydz=1n(7x+8y)dxxr7,7x+8y7x8dz=1n(7x+8y)7.qdx+x7,qdy,7x+8y7x+8y则函数z分别对X的一阶偏导数为：Oz./rC、7x=1n(7x+8y)-,意=X石片,继续求二阶偏导数有：Vz77(7x8y)-7xOx?=7x+8y+(7x+8y)2756y7x8y+(7x+8y)2;2z82x(7x+8y)2；VzVz8OXxyyx7x

10、+8y(7x+8y)2四、函数商类型二阶偏导数X-74T18：求尸甯的二阶导数。x+59Ae工x-74解：法一：y=K而,x59-+74133y(x+59)2=(x+59)2；266V=一(x+59),。法二：方程变形为y(59)=x-74,两边求导有:y,(x+59)+y=1,再次求导：y,t(x+59)+y,+y,=0,y”(x+59)=-2y,=-2悬,V-2Ir-266y-2(x+59)2(x+59)30,2(x2-9x+1)2-2(2-9)2(x2-9x+1)y=-35*=-70*(x2-9x+1)-(2-9)2(x2-9x+1)3T20：求尸许F的二阶导数。8x解：法一：y=i=2

11、，使用商求导法则:1b+x,8(16+x)-8x*2Xy=168(16-x2)二16+6；n8(-2x)(16+x2)-(16-2)*2xy=jX(16+x2)-(16-x2)X=T6(16+x2)2，=T2(I2)2o法二：乘积法，此时y(16+2)=8,两边求导有:y,(16+x2)+2xy=8,再次求导有：yM(16+x2)+2xy+2y+2xy,=0,2(2xv,+v)V(右,再将V和y代入化简,X3y,-32(16+x2)2,11COS1IX(X+3)-Sin1IXA二(x+3)2而；nA,B-AB1y=B2,其中:Af=-I12Sin1Ix(x+3)+1IcosIIx-IIcos1

12、1x=-112sin1Ix(x+3),B,=2(x+3),ttT12sinx(x+3)(x+3)2-2111COSI1X(X+3)-SinI1x(x+3)y=(3T1-IVsin11x(x+3)(x+3)-211cos1Ix(x+3)-sin11x=(x+3)3Y了22：求kx+KF的二阶导数。解：y=+，y,=1+x2-17-2x2x2-172x(x2-17)-2x(x2+17)(x2-17)2五、三角函数二阶偏导数(T23：y=sinx求二阶导数。解：y=sin10x,求复合函数求导法则有：y,=10sin9x*cosx;yn=10(9sinxcos2-sin9xsinx),=1Osin8

13、x(9cos2x-sin2x)oT24：求函数y=cos2xtan10x的二阶导数。解：y=cos2xtan10x,求函数乘积求导法则有：y,=-2sin2xtan1x+10cos2xsec210x;y,=-2(2cos2xtan10x1Osin2xsec210x)+10(-2sin2xsec210x+20cos2xsec210xtan10x),=-22cos2xtan10-40sin2xsec210x+200cos2xsec210xtan10o4c上十期cos(11x+28),“人D切T25：求函数尸的二阶导数。X有cos(11x+28)上7显*上曰44七解：y=,求函数商求导法则有：1-1

14、1sin(11x+28)-cos(11x+28)V二；11sin(11x+28)x+cos(11x+28)A=X2B,A,B-AB一,评一,其中:A,=112Cos(11x+28)x+11sin(11x+28)-11sin(11x+28)=112Cos(11x+28)x,B=2x,代入上述二阶导数，有:,112cos(11x+28)x*x2-2x11sin(11x+28)x+cos(11x+28)y=4X-x5(T26：求z=sin(x2+2y)的二阶偏导数。解：z=sin(x2+2y),由全微分求导有：dz=cos(x2+2y)(2xdx+2dy),=2xcos(x2+2y),=2cos(x2+2y)