导数及其应用题型归纳与习题含详解.docx

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1、第三章导数与定积分本章知识结构图第一节导数的概念与运算考纲解读1、了解导数概念的实际背景.2、能理解导数的几何意义.3、能根据导数的定义，求函数y = c (c为常数)，y = x,y = x2,y = xy = -,y = 4xx的导数.4、能利用常见基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限形如(x+b)的复合函数)的导数.命题趋势探究预测2015年高考依然以考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线斜率为主，可能出选择题、填空题，也可能在解答题中出现，较容易.知识点精讲一、基本概念1、导数的概念设函数y= f()在 = 附近有定义，如果以f0时

2、，Ay与&的比包(也叫函数x的平均变化率)有极限，即更无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数y = (x)x在x = /处的导数，记作/(/)或y.即x-xqr(%)=lim*lim 必誓ZLhmvOvOxo2、导数的儿何意义函数y = ()在处的导数/(%)，表示曲线y = /W在点p(%,C)处的切线pt的斜率，即tan2 = (x0),其中。为切线的倾斜角，如图31所示，过点P的切线方程为y-yo=f(xolx-xoy同样,可以定义曲线y= f()在 = %的法线为过点p(0,(o)与曲线y = /G)在x = X。的切线垂直的直线.过点P的法线方程为y - % =一 TQ(J)q

3、X。 图3-13、导数的物理意义：设/ = 0时刻一车从某点出发，在/时刻车走了一定的距离5 = 5(/)在，04时亥|,车走了 S0JS。),这一段时间里车的平均速度为皿二业。，当4与小很接近时，该t -zo平均速度近似于，0时刻的瞬时速度若令，0,则可以认为lim,即si)就是，。时刻的瞬时速度.s()s 仇)ttQLo二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表3-1表3一1y = My, = ()y = cy=oy = xn (x N*)y = nxn-, 为正整数y = xaxO,a 0且 Q)V = 6a0f,为有理数y = a xa 0,且4 1)y, = ax In a

4、y = log” x(a 0且. 1.% 0)xmay = sin xyf = cosxy = cos xy9 = -sinx三、导数的运算法则(和、差、积、商)设 = (x),U= v(x)均可导，则(1) (w v) = u, v,(2) () = ku,(k /?);，,/、UV-UVf / 八= utv + uv9(4)-=-(v 0).V-注：(f(x) = cfxc /?).四、复合函数的导数复合函数y = g(x)的导数与函数y = f(uu = g(x)的导数之间具有关系丫：二立，该关系用语言表述就是“ y对x的导数等于y对的导数与对x的导数的乘积”，也就是先把g(冗)当作一个

5、整体，把y = g()对g()求导，再把g()对x求导，这两者的乘积就是复合函数y = g()对1的导数，即(g()=尸g()gG)题型归纳及思路提示题型39导数的定义思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.例3.1设/(%)存在，求下列各极限.(+3)-().fo) 1 (a)-(). lim， Jim7，Oo分析)=n /(叱/I)二/屈),导数的定义中，增量心的形式是多样的，但0X不论工选择哪种形式，Ay必须选择相应的形式.利用函数(x)在点与处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式.解析 n /(/+3)-/9) =扁

6、 /(/+3)/(%).3 = 3/OvO3x lim /(T-()=ljm 外?(/).(_&)0拉0 评注 fx0) = lim 几十词一/)。)的几种等价形式：xooAr,()=lim 9)= lim /27(%)= im /-勺-力)等.a, 九一/()九0九变式1若jm 如11等KO = 1,则/()=()roO3X2 3A、一B、一C、3D、23 2变式2设(x)在/处可导，则Em /(/+)一/(/一3.)=()roOrA、2(x0)B、/(x0)C、3(x0)D、4(x0)题型40求函数的导数思路提示：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本

7、函数求导问题.例3. 2求下列函数的导数.(1) y = x5； (2)y = 4； (3) y = y (4) y = 10； y = log/； (6) y = sinx.X解析(2) y, = (x4) = -4x4, =-4x.54x5(3)3 .2-x 5535VP(4) / = 10vlnlQ(5)评注对于基本初等函数（指数函数、对数函数、募函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础,式一般化成分数指数幕求导.变式1求下列函数的导数.一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.根.V(3)y = log3 v(4) y = cos x(2) y = log3

8、x；(4) y = cosx.，(6) yf = (sinx) = cos x.例33求下列函数的导数(1)43)XXrV = 一 + X;432(2) y = ln% + - ； (3) y = (2x+l)ex ； (4) y =Xcosxe分析解析（1）y =1=X + x- - x 1 ；(432X X 厂一 +FX432(2)1 )y, = lnx + -(lnx) +X X H1V x x：).sin ；(2) y = x2 cosx； (3) y = ； (4) y = tan x.x例3.4求下列函数的导数./、1(1) y - e3v+2 ； (2) , = log2x+l)

9、j (3) y = sin 2x- ； (4) y =.I 3 一分析设出中间变量，按照复合函数求导法则进行.解析 (1)设 =3兀+2,则y = e,由复合函数求导法则,有y= (e)(3x+2)=3一,再把 =3x + 2代入得y = 3+2 ；2(2)设 = 2x + l,则 y = log)”,所以 y = (log)(2x + l) =，再把 = 2x + l 代win 2入,可.得y =2(2x+ l)ln 2T设 = 2x + ,则 y = 6 U3Z所以 y = (si) 2x + i3/ 、cc 、 兀2 cos u = 2 cos 2xa ；3(1I(4)设=l-x,所以y

10、= - (i-x), = -(-d=-=-U)UU (1-X)评注 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数y = (6 +3型的求导.这里设中间变量u = ax + b t 按照复合函数求导法则，y, = fax+b)ax-i-by = afXax-b),只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式1求下列函数的导数./ 71(1) y = ln(2x + l) ； (2) y = sin 2x；I 4；(3) j = 22+1+1(3+5)5 (4) = (x2+2x-l)r.题型41导数的几何意义思路提示函数y = ()在点不处的导数，就是曲线y =/(X)在点P(o,(Xo)处的切线

11、的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知()在点(0,Oo)处的切线方程为一% = ,(x0)(x-x0). (2)若求曲线y = (x)过点(。,)的切线方程，应先设切点坐标为(,/(%),由y-%=(0)(x-)过点(氏，求得天的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.例3.5设P为曲线C:y = f+2x + 3上的点，且曲线C在点尸处切线倾斜角的取值范围为(),7,则点P横坐标的取值范围为()A. -1,B. 1,0 C. ,l D. ,1分析 根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线。在P处切线的斜率的范围是0,1,根据导数的几何意

12、义，只要函数y = f+2+3的导数在这个范围即可.解析 y = 2x + 2,由于曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,-，所以其切线_ 4_的斜率的范围为0，根据导数的几何意义，得02x + 2l,即一-g.故选A.评注 函数y = ()在某点处的导数、曲线y = ()在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.变式1设(x)是偶函数，若曲线y = (x)在点(1J(1)处的斜率为1,则该曲线在点(-1,/(-1)处的切线的斜率为.例3.6(1)曲线y = 3在点(1,1)处的切线方程为；过点(1,1)的切线方程为.(2)过点(1/)的直