专题09 背靠背模型解直角三角形（教师版）.docx

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1、专题09背靠背模型解直角三角形【模型展示】【中考真题】1、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离 (AB)是1.7m,他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端仰角为45。；小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5如 用同样的方法测得旗 杆顶端M的仰角为30。.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、。在同一条直线上).求出旗杆MN的 高度.(参考数据：21.4, 31.7,结果保留整数.)解析：过点A作MN于石，过点C作。尸_LMN于尸，EF= AB-CD = 1.7-1.5=0.2在

2、 RzZkAEM 中，V ZMAE=45o, ：. AE=ME AE=ME=x (不设参数也可)M尸 =x+0.2, CF=2S-x在 R%ZM尸C 中，ZMFC=90o, ZMCF=30o .-.MF=CF tanZMCF, x +0.2 = (28-x), x10.0 , .MN 12答：旗杆高约为12米.【精典例题】1、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30。方向，且与航母相距80海里，再航行一 段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长.解析

3、点B作BDLAC于点D, 由题意得N5AO=60。，ZBCD=45o, AB=SO.在 RtAADB 中，ZBAD=60,.,.BD=ABlym60o=403.在 RGCO 中，NBcD=45。,BDbc=457=40答：5C的长为40明海里.2、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的。处测得旗杆底端B的俯 角为45。,测得旗杆顶端A的仰角为30。.若旗杆与教学楼的距离为9加,则旗杆AB的高度是3、石+ 9_血结 果保留根号）.3、放置在水平桌面上的台灯的平面示意图如图所示，灯臂AO长为40mz,与水平面所形成的夹角NOAM为75。.由光源。射出的边缘光线OC O

4、B与水平面所形成的夹角NoCA, NO&L分别为90。和30。，求该台 灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素,结果精确到0.1C八温馨提示:S山75o0.97, cos 75o0.26,31.73）OC OC解析：在 RzAACO 中，sin. 75。=市=而0.97,解得。C38.8 c加.QQ 38 8 1 73在 RtABCO 中，tan 30=37j v Q，.解得 BC67.3 cm.nC nC J答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3 SL4、如图，A, B两市相距150左根，国家级风景区中心。位于A市北偏东60。方向上，位于B市北偏西45。方 向上.已知风景区是以点C为圆

5、心、50左根为半径的圆形区域.为了促进旅游经济发展，有关部门计划修 建连接A, B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明.（参考数据：F1.73）解析：高速公路A5不穿过风景区.过点C作CHLAB于点如图所示.根据题意，.得：NCAB=30。，NCR4=45。，A北C 北小在 RtACHB 中，,. tan Z CBH= 1, .*. CH=BH.HB设 BH=tkm,贝IJCH=而n,在 RCAH 中，*.* tanZCAH= CH = 21AH 3：AH=Jtkm. 9AB= 15Okm, .,.y3t+t= 150, .,=753 - 75751.73 - 75=5

6、4.75. V54.7550,高速公路AB不穿过风景区. 5、在一次海上救援中，两艘专业救助船A, B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船8在人的 正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30。方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助 船A相距120海里.(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；(2)若救助船A, B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜 救，试通过计算判断哪艘船先到达.解析：(1)过点?作尸CnAB于点C,则N尸。L=N尸C5=90。.由题意，得 B4=120 海里，NA = 30。，NB=45,PC尸B=

7、忝=6M海里 答:收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为6S海里.120(2)救助船A所用的时间为*=3(小时)，救助船B所用的时间为曙 =2陋(小时)， .32L救助船5先到达.6、如图，要在江苏省某林场东西方向的两地之间修一条公路MN,已知C点周围200米范围内为原始森林 保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45。方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点 B的北偏西60。方向上.(I)MN是否穿过原始森林保护区？为什么？(参考数据：31.732)(2)若修路工程工程需尽快完成.如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单 独做，甲队比乙队少用10天完成.

8、求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数.解析：(1) 7W不穿过原始森林保护区.理由如下：作 8,AB于D设CI)=X米，VZCAD=45o, .AD=CD=x ,. NDCB=6。,.*. BD = CD tan/DCB=3x,VAD+BD=AB, .*.x+VSx=600,解得，x=300 (3 - D 219.6200.*. MN不会穿过森林保护区.(2)设甲工程队单独完成此项工程需要y天，则乙工程队单独M完成此项工程需要(y+10)天. 根据题意得：工+-=上，解得：y=20.y y+1012经检验知：y=20是原方程的根.则 y+10 = 30.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程

9、所需的天数分别是20天、30天.7、如图，。地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67。方向，距离A地520人神，C地位于B地南偏东30。方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）.参考数据：si67*0.92； CoS67c50.38; 31.732.B解析：如图，过点3作50,AC于点。根据题意，得NABD=67。, AB=520, NCBD=30。,在 R%ZABO 中，AD=ABsmGT,BD=ABcos670,在 RtACBD 中，CD=BDtan30o, ：.AC=AD-CD=ABsin670

10、+ABcos670tan3005200.92+5200.381 7323592 Qkm)答：A地到。地之间高铁线路AC的长5926.8、如图，一架无M人机在距离地面高度为21.4米的点B处，测得地面点A的俯角为47。，接着，这架无人机 从点B沿仰角为37。的方向继续飞行20加米到达点C,此时测得点C恰好在地面点。的正上方，且A, 。两点在同一水平线上,求两点之间的距离.（结果精确到1米;参考数据空由37%0.60,cos37%0.80, 37o0.75, si470.73, CoS470.68, 47o1.07, 62.45）解析：如图，过点B作CD于点与过点A作A5月于点巴由题意可知：COL

11、AO,四边形A五即是矩形，：.AD=EFf在 R%48CE 中，BC=206, NCBE=37。, /.BE=BCcoly37o = 2060.8039.2,在 R/ZAB尸中，AF=21.4, ZABF =47,：.BF= = 21 4 或0, tan470 1.07：EF=BE - BF39.2 - 2019,.AD=EF19 （米）.答：A,。两点之间的距离约为19米.9、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船。在南偏西45。方向，海监船航行到 5处时，望见渔船。在南偏东45。方向，又航行半小时到达C处望见渔船。在南偏东62。方向，若海监 船的速度为40海里/小时，求

12、A、B之间的距离.（精确到0.1海.里，参考数据：m62o0.88, co62o0.47,山 621.88)解析：过点。作AB于点E,. ZADE= NBDE=45。,：.AE=BE=DE,设 5E=x,贝E=x, VBC=1 40=2Q, CE=x+20,在 R4CDe中，NCO=62。,CE ,7F=ta2CDE, x+20 CC=tan62X20X=tan620 -12022. 72,A5=2x=222.7245.4,答：A、3之间的距离为45.4海里.10、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45。方向行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求。两地的距离.（结果保留根号）解析：过B作50,AC于点D在中，BD=ABkymZBAD=8=43 （千米），2中，ZCBD=45o,ABCD是等腰直角三角形，：.CD=BD=Ayfj （千米），BC=2BD=46 （千米）.答：B, C两地的距离是4立千米.