专题17 三角形基础(原卷版).docx

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1、专题17三角形基础【专题目录】技巧1：三角形三边关系的巧用技巧2 ：三角形的三种重要线段技巧3 ：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【题型】一.三角形的分类【题型】二.构成三角形三边的条件【题型】三、确定三角形第三边的取值范Iil【题型】四.与三角形高有关的相关计算问题【题型】五.与三角形重心有关的计算【题型】六.与三角形内角和定理的有关的计算【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算【考纲要求】1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系.2、理解三角形内角和定理及推论.3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.【

2、考点总结】一、三角形的概念三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。三角形特性(I)三角形有三条线段(2)三条线段不在同一直线上p三角形是封闭图形(3)首尾顺次相接J三角形用符号表示,顶点是A、B、C的三角形记作“A ABC”,读作“三角形ABC”。角形的概念三角形按边分类:等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。三角形三边的关系(1)三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的任意两边之差小于第三边。(这两

3、个条件满足其中一个即可)用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a, b, c,则a+bc或Cba。(2)已知三角形两边的长度分别为a, b,求第三边长度的范围：a-bca+b【考点总结】二.三角形中的重要线段和有关的角角 形 中 的 重 要 线 段 和 有 关 的 角三角形的高概念从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(循 三角形的高)。三角形的中线概念在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心，三角形的中线可 以将三角形分为面积相等的两个小三角形。三角形的角平分线概念三角形的一个角

4、的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三 形的角平分线。三角形的内角和定理三角形三个内角和等于180o o推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。三角形的外角和定理三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：L三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。【技巧归纳】技巧1：三角形三边关系的巧用【类型】一、判断三

5、条线段能否组成三角形1 .下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是（）A. 4, 4, 8 B. 5, 5, 1 C. 3, 7, 9 D. 2, 5, 42 .有四条线段，长度分别为4 cm, 8cm, 10 cm, 12 cm,选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三 角形？分别写出来.【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围3 . 一个三角形的两边长分别为5 c机和3 cm,第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是（）A. 2 cm 4 cm B. 4 cm 6 cm C. 4 cmD. 2 Cm 或 6 cm4 .如果三角形的两边长分别为3和5

6、,则周长1的取值范围是（）A. 6115 B. 6116 C. 11113 D. 10l+|c 3|=0,且a为方程|x4|=2的解，求 ABC 的周长.【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系11 .如图，已知D, E为AABC内两点，说明：AB+AOBD+DE+CE.技巧2 ：三角形的三种重要线段 【类型】一、三角形的高题型L找三角形的高1 .如图，已知AB，BD于点B, AC_LCD于点C, AC与BD交于点EZ ADE的边DE上的高为 边AE上的高为.题型2：作三角形的高2 .（动手操作题）画出图中AABC的三条高.（要标明字母“不写画法）3 .如图，在AABC中，BC=4,

7、AC = 5,若BC边上的高AD=4.求 ABC的面积及AC边上的高BE的长；求AD ： BE的值.4 .如图，在AABC 中，AB=AC, DEAB, DFAC, BGAC,垂足分别为.点 E, F, G.试说明：DE+DF=BG.【类型】二、三角形的中线题型L利用中线求长度5 .如图，AE是AABC的中线，已知EC=4, DE = 2,贝IJBD的长为（）AA. 2 B. 3 C. 4 D. 66 .如图，已知BE=CE, ED为AEBC的中线，BD = 8, . AEC的周长为24,则 ABC的周长为()ABDCA. 40 B. 46 C. 50 D. 567 .在等腰三角形ABC中，A

8、B=AC, 一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 c机和6 c机两部分， 求这个等腰三角形的三边长.题型2：利用中线求面积8 .图，AABC的三边的中线AD, BE, CF的公共点为G,且AG：GD = 2：1,若Sabc=12,则图中阴 影部分的面积是.A9.操作与探索:(1)如图，延长AABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA,若ACD的面积为Si,则Sl=(. 用含a的代数式表示)；(2)如图，延长ZkABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC, AE=CA,连接DE,若 DEC 的面积为S2,则S2=(用含a的代数式表示)，请说明理由；(3)如图，在图的基础上延长A

9、B到点F,使BF=AB,连接FD, FE,得到 DEF,若阴影部分的面积 为S3,则S3=(用含a的代数式表示).【类型】三、三角形的角平分线题型L三角形角平分线定义的直接应用10 . (1)如图，在AABC中，D, E, F是边BC上的三点，且NI = N2=N3 = N4,以AE为角平分线的三 角形有;(2)如图，若已知AE平分NBAC,且N1 = N2=N4,= 15。，计算N3的度数，并说明AE是 DAF的角平分线.题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数11 .如图，在AABC中，AD是高，AE是NBAC的平分线，ZB=20o, ZC = 60o,求NDAE的度数.A题型3：求

10、三角形两内角平分线的交角度数12 .如图，在AABC中，BE, CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当NA=60。时，求NBOC的度数；(2)当NA=IOO。时，求NBoC的度数；(3)当NA=(I。时，求NBOC的度数.技巧3 ：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【类型】一、直接计算角度1 .如图，在AABC中，ZA = 60o, NB=40。，点D, E分别在BC, AC的延长线上，则NI=2 .在AABC 中，三个内角NA, ZB, NC 满足NB NA=NC-NB,则NB=【类型】二、三角尺或直尺中求角度3 .把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若NI=40。，则N2的度数

11、为()A. 125o B. 120o C. 140o D. 130o4 . 一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中NA=60。，ZF=45o),使点E落在AC边上，且EDBC,则 ZCEF的度数为.5 . 一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在AABC外作NCAF=NDCE,边AF交DC的延长线于点F,求NF的度数.【类型】三、与平行线的性质综合求角度6 .如图，ABCD, ZABE=60o, ZD = 50o,求NE 的度数.【类型】四、与截角和折叠综合求角度7 .如图，在AABC中，ZC=70o,若沿图中虚线截去NC,则N1 + N2等于()A. 360o B. 250o C. 180o

12、 D. 1408 . AABC是一.个三角形的纸片，点D, E分别是AABC边AB, Ae上的两点.(1)如图，如果沿直线DE折叠，则NBDT与NA的关系是；(2)如果折成图的形状，猜想NBDA NCEA，和NA的关系，并说明理由;(3)如果折成图的形状，猜想NBDA NCEA，和NA的关系，并说明理由.CAEAC E A CA 【题型讲解】【题型】一、三角形的分类例 1、已知 ABC 中 NA:NB:NC = 3:4:7,则4ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【题型】二、构成三角形三边的条件例2、三角形的两边长分别为3cm和6。相，则第三边长可能为（）A

13、. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 9cm【题型】三、确定三角形第三边的取值范Iil例3、如图，,ABC。的对角线AC, BD交于点、O,若AC = 6, 50 = 8,则AB的长可能是（）A. 10B. 8C. 7D. 6【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题例4、如图，在AABC中，ZACB = 90,过点C作CDLAB于点D,已知AC = I2, AB = I3,则CD的长是（）【题型】五、与三角形重心有关的计算例5、如图，在AABC中，AD, BE分别是BC, AC边上的中线，且ADLBE,垂足为点F,设BC = a,AC=b, AB=c,则下列关系式中成立的是（）ID*XBA. a2+b2=5c2 B. a2+b2=4c2 C. a2+b2=3c2 D. a2+b2=2c2【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算例6、如图所示，直线属7/GH,射线AC分别交直线瓦 G”于点B和点C, AOL所于点。，如果NA【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算例7、如图，在四边形ABCD中，CDAB, ACBC,若NB = 50。，则NDCA等于（）【题型】八.利用三角形外角性质进行相关计算例8、如图，已知A5 / /CD,直线AC和6。相交于点E,若ZABE = 70o, ZACD = 40,则NAEB等于（）B. 6