专题09 分式方程(原卷版).docx

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1、专题09分式方程【专题目录】 技巧1 ：分式的意义及性质的四种题型技巧2:分式运算的八种技巧技巧3 ：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围技巧4：分式求值的方法【题型】一、分式有意义的条件【题型】二、分式的运算【题型】三.分式的基本性质【题型】四.解分式方程【题型】五.分式方程的解【题型】六.列分式方程【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分.2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和 值为零的约束条件.3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次（二次）方程的分式方程（方程中的分式不超过

2、两个）。4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论.【考点总结】一.分式分 式 的 相 关 概 念分式概念A形如石是整式，且3中含有字母，B0）的式子叫做分式.有意义的条件A因为0不能做除数，所以在分式与中，若B0,则分式尚有意义；若5=0,那么 DDA分式尚没有意义.D值为0A在分式卷中，当A = O且成0时，分式卷的值为ODD分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表 不是：BBW一左/其中M是不等于的整式）约分将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分通分将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分分分式

3、加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即;，一1，异分母的分式相加减， 先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即消一“方式分式乘分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即然=鼠分式除以分运除式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，唯Cd-黑-R算分式的在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇混合运到有“括号的，先算括号里面的.运算结果必须是最简分式或整式.算【考点总结】二.分式方程分 式 方 程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程解法(1)解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.(2)常用方法：去分母;换元法.(3)去

4、分母法的步骤：去分母,将分式方程转化为整式方程;解所得的整式方程;验根 作答.(4)换元法的步骤：设辅助未知数;得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的 值;把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;检验作答.(5)解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们 把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.运用解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根【注意】1 .约分前后分式的值要相等.2 .约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3 .约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式

5、分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；2 .分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3 .确定分式的符号，然后约分；4 .结果应是最简分式.【技巧归纳】技巧1 ：分式的意义及性质的四种题型【类型】一、分式的识别.3x-5 4-2X2 2m2 , Ni=I 八 _IXlZthj 十上,、1在元二？ 百？ 2m, 二P 丁中不是分式的式子有（）A. 1个 8. 2个 C 3个 D 4个2 .从a1, 3+万，2, 2+5中任选2个构成分式，共有 个.【类型】二、分式有无意义的条件3 .若代数式占在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（）A. a=4 B. a4 C. a4 D.

6、 a4X 14 .当X=时，分式算三无意义.3x + S5 .已知不论X为何实数，分式x26+m总有意义，试求m的取值范围.【类型】三、分式值为正、负数或O的条件X 26.若2-2+的值为正数，则X的取值范围是（）A. x-2 B. x2 且 xl D. xl3 Y47 .若分式一的值为负数，则X的取值范围是.2XO 18 .已知分式笆二记的值为0,求a.的值及b的取值范围.【类型】四、分式的基本性质及其应用9 .下列各式正确的,是（）4 a a2 a ab -a a+c a abAE=京RE=节 cb=U+DE=钎1X I r）10.要使式子 =2-6从左到右的变形成立，X应满足的条件是（）

7、A. x2 B. X=2 C. XV2 D. x2八X y ZCx2y+3z11 .已知Z=*=50,求7 不Hr的值.4o6-5y4zXVZ12 .已知 x+y+z = O, xyz0,求 -b + + -l 的值. jJ y+z 忆十 x x+y技巧2：分式运算的八种技巧【类型】一、约分计算法管 a2+6a291,计算：a2+3aa2+6a+9【类型】二、整体通分法42.计算：a2+h?- Z【类型】三、顺次相加法11 2 433计算：+【类型】四 换元通分法、1任.(3m2n) 32-3m4 计算：(3m-2n)+ 3m-2n+1 -(3m-2n) +3m_2n_r【类型】五 裂项相消法

8、(即焉时=:一志)5，计算：a (a+l) + (a+l) (a+2) + (a+2) (a+3) +,+ (a+99) (a+100) ,【类型】六、整体代入法6 +b= b+9 i+l=）求ab+ac的值.【类型】七、倒数求值法X27已知 x2-3x+l=-b 求X，一92+l的值,【类型】八、消元法52+2y2z28.已知 4-3y-6z=0, x+2y-7z=0,且 xyz0, 2x23y2 1 Oz2,技巧3 ：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1 .已知关于X的分式方程-7=乎与分式方程；=-的解相同，求n?2m的值. x+4 X2x -

9、1【类型】二、利用分式方程有解求字母一的取值范围2 .若关于X的方程口=、+2有解，求m的取值范围.x-3 x-3【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值3 .如果解关于X的分式方程占一会=1时出现增根，那么m的值为() XNZXA. -2 B. 2 C. 4 D. -44 .若关于X的方程V+-=有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值. X 9 X十3 -3【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5 .若关于X的分式方程号 =a无解，贝Ua=.X I 16.已知关于X的方程ym4=无解，求m的值. -33-XX -1-2 S7.已知关于X的分式方程产一=L(1)若方程的增根为x=2,求

10、a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程无解，求a的值.技巧4：分式求值的方法【类型】一、直接代入法求值1 .先化简，再求值：其中a=5.【类型】二、活用公式求值2 .已知实数X满足2-5x+l =0,求x4+W的值.3 .已知 x+y=12, xy = 9,求7 的值.【类型】三、整体代入法求值4 .已知。+E=l,且 x+y+z0,求-+d-+W-的值. y 十Z z+x x+yJy+z z+x X十y【类型】四、巧变形法求值5 .已知实数X满足42-4x+l=0,求2x+(的值.【类型】五、设参数求值6 .已知A5=(0,求X 4y 2 的值.2 3 4， xy+yz+xz【题

11、型讲解】【题型】一.分式有意义的条件例1、使得式子有意义的X的取值范围是A. x4B. x4C. x4D. x4【题型】二、分式的运算a + 1Q + 3aA.B.C.1 1a 6Z 1例2、分式岩4化简后的结果为（）【题型】三、分式的基本性质D.a? + 3a-1例3、若一则的值为()a-b 4 b1A. 5B. C. 35D.【题型】四、解分式方程例4、方程x + 5 x-2的解是（A. X = -1B. = 5D. x-9【题型】五、分式方程的解例5、关于，的分式方程已=1有增根，则根的值（2-x【题型】六.列分式方程 例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公

12、司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周 投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件X件，根据题意可列方程为（）3000 4200A.=%-804200 3000 “C. =80X XB.D.3000 CC 4200+ 80 =XX3000 _ 4200X %+ 80分式方程（达标训练）一、单选题L （2。22.广西.富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于的分式方程段十三=1有解,则实数相应满足的条件是（）A.m=-lB. m-lC. m=lD. ml2.2（2。22.海南省直辖县级单位.二模）分式方程=I

13、的解为（)A.-1B. 0C. 1D. 23.4x 3 V（2022.天津南开.二模）化简22X -yx-2y22的结果是（）y -%A.55 B.x+ y3x+yD. 22X -yx-yc %2-/4.（2022.贵州贵阳.三模）计算 m-22-的结果是（） m-2A.2B. -2C. 1D. -15.（2。22.江苏淮安.一模）若分式二2有意义，则X的取值范围是()A.x0B.2C X -2D. x-2二、填空题3x 16. （2022.四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程上彳=3的解为 X-I x+1 + 537. （2022.湖南怀化.模拟预测）计算=.x+2+2三、解答题138. （2022.浙江丽水.一模）解方程： -=2.x 3 3 X分式方程（提升测评）一、单选题1. （2022.辽宁葫芦岛.一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱.某特 许零售店准备购进一批吉祥物销售.已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同， 已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为X元，则列出方程正确的是（）a 600 500 S 600500