专题3 第1讲 等差数列与等比数列.docx

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1、第1讲 等差数列与等比数列考情分析1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现2数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点.考点一等差数列、等比数列的基本运算【核心提炼】等差数列、等比数列的基本公式5N*)(1)等差数列的通项公式：a=a + n-)d等比数列的通项公式：a,t=aq,tl.z 、， - ， L.,、 n(a+all) 1 /?(/? 1),(3)寺差数列的求和公式：Sj=一=na-5(1;0(I- ai-aq(4)等比数列的求和公式：sll= 1 一夕一-q例1 (1)周髀算经中有一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、

2、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影长的和为37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则冬至的日影长为()A. 15.5 R B. 12.5 R C. 10.5 R D. 95 尺答案A解析 从冬至起，十二个节气的日影长依次记为。2,。3,，02,由题意，有。+。4 +m+3d=12.5,aq=375,根据等差数列的性质，得出=12.5,而32=4.5,设公差为4则 U + lld=4.5, = 15.5,解得,l 所以冬至的日影长为15.5尺.已知点(小斯)在函数段)=2门的图象上5N*).数列斯的前n项和为Sn,设bn=S +1log 一，数列d的前项和为7；.

3、则Ttt的最小值为.答案一30解析 :点(,在函数人工)=2A l的图象上，.m=2L5N*),，斯是首项为ci = ,公比q=2的等比数列,1-22,r则 bn= log =2n-12(nN*),为是首项为一 10,公差为2的等差数列，.口尸10+加产 乂2=2_11=(_抒_詈.又 N*,丁的最小值为T5=T6=Q2-y-=-30.规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项、公差d或公比夕.(2)熟悉一些结构特征，如前项和为S“=2+3, 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a=pqnx(p9 4/。)的形式的数列为等比数列.(3)由于等比数列的通项公式、前项和公

4、式中变量在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.跟踪演练 1 (1)(2020全国 II)数列斯中,0 = 2, am+n=aman9 若依+1+诙+2+%o=2r-25,则左等于()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案C解析,0=29 加十 =4加。，令 m = 1,贝J afl+ =aalt=2att,如是以0=2为首项，2为公比的等比数列，afl=22nl=2,.又：像+1+k+2T+o=215-25,竺竺洋225即 2+,(2,0-1)=25(2,0-1),2a-+1 = 25, .A+1=5, A=4.(2)(多选)(2020威海模拟)等差数列斯的前项和记为S

5、”若0O, So=S2o,则()A. J0B. 6f60C. 5m55D.当且仅当又232时,SllO,所以 dO,故 A 正确；因为 416=41 +15d=-yd+15d=5,又 dO,乙乙乙291所以 46O, i60,所以 S15 最大，即S,WS5,故C正确；S=询+-k5- d= 0 d,若S“0,又d0,则心30,故当且仅当h31时，S0,故D错误.考点二等差数列、等比数列的性质【核心提炼】1 .通项性质：若m+n=p+q=2k(m1 % p, q, N+),则对于等差数列，有am+an=ap+aq=2akf 对于等比数列有 antan=ataq=ai.2 .前项和的性质：(1)

6、对于等差数列有S，S2w-, S3,“一S2”成等差数列；对于等比数列有s，s2,-,S3，一S2w成等比数列(9=-1且7为偶数情况除外).(2)对于等差数列，有S2-i = (2- 1)。.例2 (1)己知正项等差数列斯的前项和为SGN)若的+s温=()，则S的值为()A. 11 B. 12 C. 20 D. 22答案D解析 结合等差数列的性质，可得的+。7=2俏=成，又该数列为正项数列，可得 6 = 2,所以由 Sln+1 = (2+ 1 )斯+19可得 Su=S25+= 116=22.2(2)已知函数外)=口R),若等比数列如满足阕2 020=l,则他)+42)+m3)+1 I人.42

7、 020)等于()A. 2 020 B. 1 010 C. 2 D.答案A解析 V7dr2 020= 1，220+2020i+7+工+3=3+也=21+山 1 1 +H 1 +?1+-c为等比数列，则。12 020 =。2。2 019=。1 010。1 011 = 1，；/(2)+y(2 0l9)= 2,，fi Ol)+l 011) = 2,即八0)十42)+/(3)+-+./(。2 020)= 2 1 010=2 020.规律方法等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解.(2)用性质，数列是一种特殊的函数

8、，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.跟踪演练2 (1)(2020全国I )设是等比数列,且1+2+s=L 2+s+4=2,则恁+s + 8等于()A. 12 B. 24 C. 30 D. 32答案D解析 设等比数列的公比为小r1102+3+4 2则片石ET=2,所以恁+田+恁=+。2 +。3炉=1 X 25 = 32.(2)已知正项等比数列知的前项和为S“，且So=lO, S30=知0,则S40等于()A. -51()B. 400C. 400 或一510D. 30 或 40答案B解析,正项等比数列如的前项和为S，*So, S20S10, S30S20, S40S30

9、也成等比数列，1O(13O-S2o)=(52o-1O)2,解得 S2o=4O 或 S2o=-3O(),故 S405=270, .*. So=400.考点三等差数列、等比数列的探索与证明【核心提炼】等差数列等比数列定义法an+an=d丁 一虱巾)通项法an=a+(n)dan=avqn中项法2an=an+an+(九22)(A=an-an+(72 22, QW0)前项和法S=an1+hnSn=kcf-k(，b为常数)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.例3 (2019全国)已知数列斯和儿满足。 = l, bi=0,4%+i = 3一儿+4,4d+ = 3瓦一。-4.(1)证明：斯+匕是等比数列，

10、斯一儿是等差数列；(2)求斯和儿的通项公式.证明 由题设得4(即+1 + bn+)=2(即+b),即+b+ =(+仇).因为 a+b = 9所以伍+儿是首项为1,公比为;的等比数列.由题设得 4(。+b”+i)=4(一瓦)+8,即 an+1-bn+=an-bn+2.又 a-b=,所以伍一E是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解 由(1)知，an+bt=p, alt-b,t=2n-1.所以 afl=(a,lbn)+(anbfl) =+n N*),易错提醒忌=斯-1%+(22, N*)是斯为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为().跟踪演练3已知数列斯满足=

11、1, = 2( +1 )“.设bn=.(1)求6|,岳，by,(2)判断数列5是不是等比数列，并说明理由；(3)求“的通项公式.解(1)由条件可得斯*=g小将 =1代入得，a2=40，而 = l,所以。2=4.将 =2代入得，3 = 32,所以3=12.从而仇=1,力2 = 2,力3=4.(2)儿是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下：由条件可得T=等，即儿+产2而/?+1 n又历=1,所以儿是首项为1,公比为2的等比数列.（3）由（2）可得个=2门,所以专题强化练一、单项选择题1.在等比数列中，若3 = 2, “7 = 8,则恁等于（）A. 4 B. -4 C. 4 D. 5答案A解析 ,

12、数列。为等比数列，且的=2, 47=8,.g=4347=2X8=16,则。5=4,等比数列奇数项的符号相同，的=4.2 . （2020全国II）记S“为等比数列的前项和.若53= 12,拆一“4=24,则=等于（）A. 2一 1B. 22厂C. 22答案B解析方法一设等比数列的公比为外r1ll 恁一。424 c则 L=U由 a5-a3=acf-aq2=12a= 12 得 a = .所以如=aq |=2】，S”=驾三四=2一1,所以方法二 设等比数列如的公比为外内/一3= 12,。4 /一4 = 24,将q=2代入，解得3=4.所以的=3=1，下同方法一.3 .已知等差数列如和等比数列小的各项都

13、是正数，且0=, u=bu.那么一定有（）A. B.I% C. a2b2 D. a2b2答案B解析 因为等差数列%和等比数列为的各项都是正数，且m =仇，an=bn,所以4+。”=b + b = 2。6,当且仅当从二1时，取等号，此时数列儿的公比为1.4 .在数列斯中，s=2, 吊=*+ln(l+J,则斯等于()A. 2+nn nC. 2n+nn nB. 2+(/? l)ln nD. 1 +/?+?ln n答案C解析 由题意得言苦一年=ln(+l) In n,分别用1,2,3,，一1(22)取代，累加得仅一半=In/一In 1,即亭=2+ln及，即 a,l=2n+nn n(n2),又。1 = 2符合上式，故a=2n+nln n.5.已知数列“的前项和为S” 0 = 1,念=2,且对于任意心1, N*,满足S,+1