两角和与差的正弦余弦正切2.docx

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1、两角和与差的正弦、余弦、正切（2）一.教学内容：两角和与差的正弦、余弦、正切（2）目标：掌握两角和与差的正切公式，能正确运用它们进行三角函数式的化简、求值与恒等式证明，提高学生的运算能力及综合运用知识分析问题和解决问题的能力，体会换元及整体的思想方法。二.重点、难点：重点：两角和与差的正切公式以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合运用。难点：几组公式的灵活运用。【学法指导】注意两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活变形及公式的逆用以及公式成立的条件。特别是 tan（ 七 ）=八 tan 的变形公式 tan tan / = tan（ 夕）（1 干 tan 0 1 + tan er tan t

2、an夕）的灵活运用。当a、中有一角为90。的整数倍时，用诱导公式为宜。解题过程中应注意技巧：（1）常数的运用。如1, 3,2,等，均可视为特殊角的三角函数3222值，从而将常数换为特殊角的三角函数值使用。（2）角的变化。如：a + =Qa + ）-a,a = (a + /7) 氏 2a + /? = (a + 4)+ a；a + a- c a + a-a =- +-； =；22222a = (a + 4)+ (二一4)；2=(a + )- (a 2)等。【例题分析】例 l 求值：tan 15o+ tan 30o+ tan 15o tan 30o分析：观察所给出的两个角，它们的和是45。，而三角

3、函数的名称为正切,所以不妨展开 tan450=tan(150+300)o解:rcc ,rc、tan 30o+ tan 15o1 tan 45o = tan(30o+ 15o) = 1l-tan30otanl5o/.tan 30p+ tanl5o= l-tan3(tanl 50/.tan 30p tan 15o tan 3( tanl5o= 1说明：本题主要考查两角和的正切公式及其乂活的应用。解题时应注意观察角与三角数的特点，从而找到它们的内在联系，正确运用公式。本题也可先由tanl5o=tan(45。-30。)，利用两角差的正切公式求出tanl5。的值(tanl5o=2-g),再代入所求式求得

4、结果。例 2.设tana, 12。/?是方程112+(201-3口 +(111-2)=()的两根，求tan(a + 夕)的最小值分析:既然tana, tan/7是方程的两根，则方程的根必存在,即0,两根与方程的关系应用韦达定理。解:由已知tan a, tan夕是方程的两根:. = (2m - 3)2 -4m(m-2) 0.m24n 3 - 2mtan + tan 夕=mm 2tan tan p =m3-2m. tan(ez + )=tan a tan3-2m1 - tan a tan . m - 22m3 - 2m、 3 /6、 3- , EJ tan(a + )-3故tan(a + )的最小

5、值为。4所以不妨展开 tan450=tan(150+300)o解:rcc ,rc、tan 30o+ tan 15o1 tan 45o = tan(30o+ 15o) = 1l-tan30otanl5o/.tan 30p+ tanl5o= l-tan3(tanl 50/.tan 30p tan 15o tan 3( tanl5o= 1说明：本题主要考查两角和的正切公式及其乂活的应用。解题时应注意观察角与三角数的特点，从而找到它们的内在联系，正确运用公式。本题也可先由tanl5o=tan(45。-30。)，利用两角差的正切公式求出tanl5。的值(tanl5o=2-g),再代入所求式求得结果。例

6、2.设tana, 12。/?是方程112+(201-3口 +(111-2)=()的两根，求tan(a + 夕)的最小值分析:既然tana, tan/7是方程的两根，则方程的根必存在,即0,两根与方程的关系应用韦达定理。解:由已知tan a, tan夕是方程的两根:. = (2m - 3)2 -4m(m-2) 0.m24n 3 - 2mtan + tan 夕=mm 2tan tan p =m3-2m. tan(ez + )=tan a tan3-2m1 - tan a tan . m - 22m3 - 2m、 3 /6、 3- , EJ tan(a + )-3故tan(a + )的最小值为。42

7、5 3W 5 1O 2510510 2.0 + 乃，且在(0,1)内余弦值为巫的角只有军。24c 冗:.a + p = 4说明：本题主要考查由三角函数值求角的方法，和角公式、同角三角函数的基本关系式。除上述两种方法外，还可以通过计算sin(+4)去求值。但如果计算出sin( + 0 =辛后，直接得出 + = ?是错误的，得到 + 6 = (或:他是错误的。需根据 (0,二)及sin = E更，得出0va工，同法可得0/2，从而 +例勺范围可由(0,乃)252缩小到(0,1)。可见，本例中求tan( + 0和cos( + 0均比求sin( + 0好，这是因为 +7(0),在此区间上余弦函数、正切

8、函数是单调函数，一个余弦值或正切值只与一个角对应；而正弦函数在(0,乃)上不是单调函数，要确定 +颜值还需进一步讨论，显然麻烦。由此可见三角函数的选取非常重要。例 4. 已知 tana = 1, sin(2a+ 0 = 3sin, 求 tan(a + 00分析：注意到从tana = 1,可得到a = 2 + k(k ez)。从而可把问题化归成关于的三角函数4。也可以根据所求角的特征，由2a + A=(a + 0 + a, =a + )-a,再变换第二个已知条件，进行求解。解：(方法一)17rll tan a = L , a = 一 + k凡 z47故 sin(2a + ) = sin(F /?

9、+ 2kr) = cos 25 3W 5 1O 2510510 2.0 + 乃，且在(0,1)内余弦值为巫的角只有军。24c 冗:.a + p = 4说明：本题主要考查由三角函数值求角的方法，和角公式、同角三角函数的基本关系式。除上述两种方法外，还可以通过计算sin(+4)去求值。但如果计算出sin( + 0 =辛后，直接得出 + = ?是错误的，得到 + 6 = (或:他是错误的。需根据 (0,二)及sin = E更，得出0va工，同法可得0/2，从而 +例勺范围可由(0,乃)252缩小到(0,1)。可见，本例中求tan( + 0和cos( + 0均比求sin( + 0好，这是因为 +7(0

10、),在此区间上余弦函数、正切函数是单调函数，一个余弦值或正切值只与一个角对应；而正弦函数在(0,乃)上不是单调函数，要确定 +颜值还需进一步讨论，显然麻烦。由此可见三角函数的选取非常重要。例 4. 已知 tana = 1, sin(2a+ 0 = 3sin, 求 tan(a + 00分析：注意到从tana = 1,可得到a = 2 + k(k ez)。从而可把问题化归成关于的三角函数4。也可以根据所求角的特征，由2a + A=(a + 0 + a, =a + )-a,再变换第二个已知条件，进行求解。解：(方法一)17rll tan a = L , a = 一 + k凡 z47故 sin(2a

11、+ ) = sin(F /?+ 2kr) = cos sin7BJ可得解。也可令tanatan/sin(a + )-r . sin(a + )cos a - cos =x, l*J E0 - ； = ：sm(a - ) sn(a - )cos a cos 夕tan a + tan /tan a-timtana ,+ 1皿一，从而得方程山 =5,解此方程，即可得解。tana _ x- 1tan/?sin( + ,)=；sins - /?)/sin a cos + cos sin /7 =sin a - cos - cos a sin =10/31角牟得 sin a - cos - ， cos (

12、7 sin /?=-105则有tana sin a cos 3 3=5 = -tan cos a sin/ 102(方法二)vl tana设-=tan .sin( +夕)=5=5sin(cr - ) Jlr sin(cr + )sin a - cos + cos a sin c .=sin( - )sin a - cos - cos a sin (sin a cos cos a sin ) cos。cos/(sin a cos - cos a sin ) ?COS6Z COS/?tan a + tan /?tan a -tan tana ,+ 1tan 夕 _ x 1lan x- 1itan/?.i=5,解之得x=a,即史i4=ax -12tan 2说明：解法一是采用“化切为弦”进行求解，解法二是采用“化弦为切”进行求解。解此类问题，解法一较为常用。已知 sin = 4sin( + 6)，求证：tan( + )=如幺例6.cos44分析：考虑到条件等式中含角 +4和待证等式中含角 +俄叨，故可将,分。+住三个角联系到一起，化为（ + 0-证明： sin = 4 sin( + )4 sin(a + ) = sin a = sin( )- =sin( + ) cos - cos( + 0