组合变形强度计算.docx

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1、第6章组合变形强度计算6.1 组合变形与弹性叠加原理-6.1.1组合变形的概念在工程实际中，有许多杆件在外力作用下会产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。如图6-1 (a)所示小型压力机的框架。为分析框架立柱的变形，将外力向立柱的轴线简化(图6-lb),便可看出，立柱承受了由F引起的拉伸和由M = 74引起的弯曲。图6-16.1.2弹性叠加原理弹性叠加原理也称为线性叠加原理。该原理对于求解弹性力学问题极为有用，它使我们可以把一个复杂问题化为两个或多个简单问题来处理。在分析组合变形时，可先将外力进行简化或分解，把构件上的外力转化成儿组静力等效的载荷，其中每一组载荷对应着一种基本变形

2、。例如，在行面对例子中，把外力转化为对应着轴向拉伸的F和对应着弯曲的M。这样，可分别计算每一基本变形各自引起的应力、内力、和位移，然后将所得结果叠加，便是构件在组合变形下的应力、内力、应变和位移，这就是叠加原理。现在再作一些更广泛的阐述。设构件某点的位移与载荷的关系是线性的，例如，在简支梁的跨度中点作用集中力F时，右端支座截面的转角为F12 = -16E/这里转角9与载荷厂的关系是线性的。,是一个系数，只要明确尸垂直于轴线且作用于lorS跨度中点，则这一系数与厂的大小无关。类似的线性关系还可举出很多，可综合为，构件A点因载荷片引起的位移d与6的关系是线性的，即5= G 6(a)这里G是一个系数

3、，在K的作用点和方向给定后，G与的大小无关，亦即G不是片的函数。同理，a点因另一载荷引起的位移为2 = C2F2(b)系数也不是尸2的函数。若在构件上先作用耳，然后再作用入。因为在未受力时开始作用巴，这与(a)式所表示的情况相同，所以A点的位移为G6。在作用时工，因构件上已存在片，它与(b)式所代表的情况不同，所以暂时用一个带撇的系数代替。2,得4点的位移为。2工。这样，当先作用片后作用工时.，A点的位移为b = C 6 +。2线(C)式中的系数G也应该与片和尸2的大小无关，即 J不是6或尸2函数。因为如果G与耳和工有关，则。2与尸2相乘后的。2死就不再是线性的。这与力与位移是线性的关系的前提

4、相矛盾。现在从构件上先解除，这时设a点的位移为-G/。这里的负号表示卸载，G上的一撇也是为了区别于Cl。但也与和f2无关。吁解除后，构件上只有f2 ,如再解除f2,就相当于(b)式代表的情况的卸载过程，所以4点位移应为-。2尸2。6和鸟都解除后，构件上无任何外力，是它的自然状态，位移应等于零。于是qfc2f2-cf,-c2f2=o或者写成(c1-c)(c2-c2)=o根据上面的论述，式中两个系数都不是载荷的函数，而且和用为任意值时，上式都应该得到满足。这就只有两个系数都等于零，才有可能，即C1-C=O,C2-C2=OC1 = C , C 2 = C2于是(c)式化为b=GK+cg比较(a),

5、(b)和(d)三式，可见，和F2共同作用下的位移，等于月和工分别单独作用时位移的叠加。如果点到上述加力次序，先加尸2后加片，用完全相似的方法，必须仍可得到(d)式。这表明位移与加力的次序无关。以上结论可以推广到外力多于两个的情况，也可推广到应变、应力、内力与外力成线性关系的情况。可见，叠加院里的成立，要求位移、应力、应变和内力等与外力成线性关系。当不能保证上述线性关系时，叠加原理不能使用。叠加原理只适用于小变形，即线弹性条件，因为基本方程和边界条件均是在小变形条件下得到的。止匕外，对于细长构件的弹性稳定性问题，梁的纵向及横向受力问题及弹塑性问题,叠加原理都不能适用。6.2 应力状态分析-6.2

6、.1二向应力状态的解析法工程上，一般构件的受力部比较复杂，因此，在构件的某一点处所取得已知单元体方向的应力通常不是最大的应力方向。下面来讨论二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力后，如何确定通过这一点的其他截面上的应力，从而确定主应力和主平面。从受力构件上截取一单元体abed。其一对侧面上应力为零，而另两对侧面上分别作用有应力区,巴.,八如图6-7(a)所示，这类单元体是二问应力状态的一般情况。图6-7(b) a ?为单元体的正投影。这里巴和是法线与1轴平行的面上的正应力和切应力；明和v是法线与y轴平行的面上的应力。.切应力j (或如)，下角标x (或y )表示切应力作用平面的法线的方

7、向;应力的正负号规定为：正应力以拉应力为正，而压应力为负；切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负。按照以上规定，在图6-7(a)中，4.、巴.和皆为正，而口,为负。假想取任一与个平面垂直的斜截面勿*,如图6-7(b),其外法线与)，轴的夹角为。规定由x轴逆时针转向外法线时，为正，反之为负。以截面把单元体截开，取左半部分Q6/为研究对象，如图6-7(c)o斜截面上的正应力为切应力为，。设面的面积为dA ,则q面和e面的面积分别是dAsin和4cos0,把作用于部分上的力投影于面的外法线和切线，的方向，列静力平衡方程，得图 22-7crA + (如Acosa)sin a - (vd

8、Acosa)cosa +kAsin)cos 一(Asi6z)sin = 0edA - (rvWAcostz)costz - (ZAcos6z)sin a + (vtZ4sin )cosa + (rAsin )sin a = 0由切应力互等定理有n二八代入以上平衡方程，整理 y22，+b% ，n = cos a + v sin a-2v si6rcoscr = - + -cos2cr-rv sin 2a(6-1)a = (v - v )sin 6Z cos a + x (cos2 a-sin2 a) =-sin la + rv cos2cz(6-2)可见，斜截面上的正应力和切应力都是角a的函数。

9、这样，在二向应力状态下，只要知道一对互相垂直面上的应力和b,bv、x,就可以依式(6-1)、式(6-2)求出。为任意值时的斜截而上的应力和a o下面来推导主应力和确定主平面的角度的公式。将式(6-1)对导数得 = -2dacrv x-sin 2a + r cos202x令此导数等于零，可求得b0达到极值时的值f4来表示l存x -sin2a0 + x cos20 = 0 (b)化简后得(6-3)其中一个是由式(6-3)可求出%的相差90的两个根，它们确定相互垂直的两个平面,最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。由三角关系cos2% =(c)+ tan2 2q)(d)sin2g=Y=J

10、l + tan2 2%)将式(6-3)代入式(c)、式(d),再代入式(6-1),整理后可求得,海和50山的计算表达式bax .min巴+ v2(6-4)由式(6-4)所求得的两个相差90的值中哪一个是5海作用面的方位角，哪一个是min作用面的方位角？ 一般约定用bv表示两个正应力中代数值较大的一个，即5 ,则两个角度中绝对值较小的一个确定bmax所在的平面。比较式(6-2)和式(b),可见满足式(b)的。角恰好使乙等于零，这表明正应力取得极值的截面上，切应力必为零，即正应力的极值就是单元体的主应力。用相似的方法，可以确定最大和最小切应力以及它们所在的平面。将式(6-2)对。求导数，得(e)(

11、6-5)= (v - v )cos2(7 - 2rr sin 2ada x y,x令此导数等于零，可求得取得极值时的值，用/来表示，有C x-vtan 2ai =-2j由此式也可求出相差90的两个% ,其中一个对应的作用面是切应力极大值所在的平面，另一个对应的作用面是切应力极小值所在的平面，两个切应力分别以0M m来表示，称为最大切应力和最小切应力。由式(6-5)解出和代入式(6-2),求得切应力的最大值和最小值为rmax .mn=+-人 2,2y+ r a-(6-6)比较式(6-3)和式(6-5),有tan 2a0 tan20 = -1所以有d a2% = 2a0 + a=a0 + 即最大和

12、最小切应力所在平面与主平面的夹角为45 o例6-1讨论圆周扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象.解：圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其值为(f)在圆轴的表层，按图68(a)所示方式取出单元体ABCD,单元体各面上的应力如图6-8(b)所示这就是前而所讨论的纯剪切应力状态。把式(g)代入式(22-4),得5naxbmin( -+ 2 = 人2、由式(6-3)tan 2%)= - 一= -巴一 巴所以，24 =90或-2704 =-45 或-135以上结果表明，从铀量起，由q)=-4S)(顺时针方向)所确定的主平面上的主应力为ma ,而由% =-139所确定的主平面上的主应力为

13、bmin。按照主应力的记号规定i = crmax = % 2 = ，3 = 5nin = 一所以，纯剪切的两个主应力的绝对值相等，都等于切应力T,但一为拉应力，一为压应力。圆截面铸铁试件扭转时，表面各点叫皿所在的主平面连成倾角为45的螺旋面，如图6-8(a)所示。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏，如图6-8(c)所示。HM图6-8例6-2求如图6-9所示单元体的主应力值及主方向，并确定最大切应力值。解：按应力符号规则选取。二80MPaAy = -40MPax = -60MPa代入公式求主应力及其方位bax +crTxy2 )+ 2a105MPa-65因此1 = 10

14、5 MPa,a? = 0, 3 = -65 MPa2rtan 2q)= = 1巴一巴所以4n =22.5,6 =112.5即由%“ =22.5确定的主平面上，作用着主应力,由）2 =112.50确定的主平面上，作用着主应力bmin 二一65/为。求最大切应力:=S5MPa所以最大切应力为85P40三向应力解析分析简介6.2.2三向应力状态分析的图解法以上所述平面应力状态的应力分析，也可以利用图解法进行。由式（6-1）和式（6-2）可知，正应力?和切应力%都是的函数，说明在之间存在着函数关系。下面来推导之间的关系。首先，将式（6-1）和式（6-2）分别改写成如下形式r + v -vn: = -cos 2 - rr sin 2aa -0 = sin26z + rvcos2(702然后将以上两式各自平方后相加，于是得k 1 V 、