分布式TMD对双密频结构的减振研究.docx

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1、分布式TMD对双密频结构的减振研究文永奎，胡九战，卢文良(北京交通大学土木建筑工程学院，北京100044)摘要：针对密集频率结构的减振问题，以典型的2自由度对称结构为例，研究基于压性能的梯度优化法对密集模态 振动减振的分布式TMD (tuned mass dampers)的参数优化和减振效果。建立适合闭环静力反馈控制的组合系统模型，将 基于压性能的梯度优化法扩展至分布式TMD的参数优化；定义针对密集模态振动的控制输出和无量纲评价指标，分析了控制输出的模态控制权重对优化参数和评价指标的影响，指出能使评价指标峰值相等的模态控制最优权重，进一步给出优化参数和评价指标随模态密集度的变化规律；与经典方法

2、对TMD的设计相对比，分析和验证了基于H2性能优化的分布式TMD的良好减振效果，并确认在TMD个数增多时基于压性能的梯度优化法将具有更佳的优化效果。关键词：密集频率结构；振动控制；参数优化；分布式TMD中国芬举县.1341 ana十就标短码.a引言实际工程中经常采用的对称、准对称或局部对称结构，往往会在一窄段频率范围内存在多阶模态。特别是，由空中廊桥联接的双子建筑或处于施工阶段由猫道联接的悬索桥主塔等结构，会出现典型的由两阶模态 组成的密集频率结构，即双密频结构；而 且该型结构因具有柔性大、阻尼小、低频等 特点，容易在外荷载激励下发生大幅振动。因此研究具有对称形式的双密频结构的减 振将具有重要

3、工程意义。而作为相对成熟的 减振措施，TMD因能适应于多种荷载作用 下的结构振动控制，被广泛应用。经典的TMD在设计时通常采用单自由 度主结构模型，即视结构为单自由度或将结构简化为单自由度系统。其中，Den hartog最早给出能使单自由度结构的稳态响应峰 值最小的TMD优化频率和阻尼比；Jacquot采用了广义质量比，将TMD的优化 结果推广到梁结构；Warburton假定结构 频率非密集分布，进一步将复杂连续结构简化为单自由度系统以优化TMD参数41。此外，为提高TMD减振的鲁棒性，多质量阻 尼器(Mutiple Tuned MassDampers, MTMD)的动力性能得到研究5罚,但M

4、TMD采用 心TMD对结构某阶频率调谐，且在该频率 一定范围内分布多个TMD的方式，仍是针 对单自由度主结构的减振。研究表明针对TMD设计的单自由度主结构模型，并不适用于密集频率结构的减振 设计I。为有效实现对密集频率结构的减振,AbE指出需要采用不少于所控模态数的多个TMD,且须考虑TMD的空间分布，并文章编号：给出了在合理布置条件下TMD参数的简化 计算方法，但未对TMD的参数优化问题进 行探讨。近年来，一些研究通过定义不同的目标函数并采用梯度优化的数值方法,实 现了对单自由度主结构减振的MTMD参数优化，大大提高了在参数较多时的优化效率6-8 o其中,Wamitchai以梁和板结构为例，

5、将Davidon-Fletcher-Powell优化算法进一步推广到多模态减振的TMD参数优化，给出了相应的优化结果和减振效果【。止匕外，文 永奎对定义的压性能目标，通过线性矩阵不等式实现对多阶频率调谐的TMD参数优 化，但在TMD个数多时优化的效率低下【。可见，针对密集频率结构的减振，己有的成果对多个TMD参数优化的过程、影响 因素以及减振性能评价等方面的研究仍有 不足，尚待深入探讨。本文以经典的对称2自由度双密频结构为例，基于压性能的梯度优化法，研究针对多阶模态减振且空间布 置的分布式TMD的参数优化，阐明模态控制权重和模态密集度等因素对优化结果和 减振效果的影响。在建立适合闭环静力反馈

6、控制的组合系统模型的基础上，将基于H2性能的梯度优化法扩展至分布式TMD的参数优化；定义结构多模态振动的无量纲响应作为评价指标，以广义模态坐标响应构成控 制输出向量，分析并指出能使评价指标峰值 相等的模态控制最优权重，给出优化参数和其中,md =diagm6.%J 和4N) =0di (t)减振性能随模态密集度的变化规律；与经典单TMD设计等方法相对比，分析并验证基 于压性能优化的分布式TMD的减振效果，并确认在TMD个数增多时基于H2性能的梯度优化法的优化效果。1系统模型为实现对密集频率结构的减振分析，本文考虑一个典型的2自由度对称主结构1, 9o如图1所示，主结构也2个相同的主振子组 成,

7、每个振子具有质量匕、相对基础的刚度4和粘滞阻尼q；两个振子通过刚度为奴的弹簧藕联。当藕联弹簧的刚度较小 时，主结构的2个频率将呈现密集状态，此 时主结构为双密频结构。%，d2kdC.1| 2n i.C 血% ”图1双密频结构与分布式TMDus2Fig. 1 System of 2 DOF structure with closelyspaced frequencies and distributed TMDs 取主结构位移响应为（，）=% us2 7 ,其中分量表示各振子 位移响应，s为位置参数。则可用模矿 DTp (H(t)式 中,2MO = diag2 绍& 222 口 Jdiag就成，其

8、中和”=（1+2月火/叫，昌和&为模态阻尼 比；。和T分为外荷载和TMD的作用位置矩阵；7Y。为外荷载列向量，特别的当外荷载为地震加速度外激励时P（0=皿颇其中网为主结构质量矩P轧5为加速度对主结构作用位置列向量，此时。为单位阵；九为个TMD对主 结构的作用力向量LO）坨XM,其中舟为第，个TMD的作用力（0 f （如一妈）+稣-市）（2）式中，0小和udi =T氏力分别为第，个TMD的位移以及相应位置处的主振子位 移；Cd,履分别为第i个TMD的阻尼、刚度。此时，TMD的运动方程为md4dQ） + fdQ） = P（t）（3）态坐标表示为“（S,。=o Yo ）,其中丫（，）=如。）时）K,

9、始和如）分别是第/个TMD101为广义坐标向量；*0面为振型矩阵，旦的质量和加速度；,但为作用在TMD的力列向量,次 1) = 4(2) = 1/应0（D=-0（2）-方夕笈-。假定主结构满足比例粘滞阻尼，且主结构上安装个TMD,并组成减振系统，则系统的运动方程可表示 为(1)Y(t) + 2 f2Y(t) + 2Y(t)=(6a)若P0)为主振子上的直接激励时PQ)为0向量，而若PQ)为地震激励时p(t) = -mddu ,其中5为加速度对作用位置列向量。将式代入式和式(3),合式(1)和式(3)得 A/Z + CZ + KZ + HcjfZ +式中，z =2SS1 QC =00if 0；K

10、 =0 0TMD并组-Mk -m,ckd cd HToB、.(4)(6b)(6c)(6d)为使减振系统适应于闭环静力反馈控制的H2控制理论，将式(5)改写为x- Ax + Bxw + Bu (7)一矿 TT-I.D 0 式中，3 =为控制输入矩阵；Uu -MH被定义为静力输出反馈控制力，即(8)%=diag% 勺 2公;6和乩因为静力反馈控制增益矩阵，也即所需优外荷载作用形式的不同而适当调整其构成，若P(0为主振子上的直接激励时 式中，Fd =勤化的TMD参数矩阵；y为勿维测量输出向量，可表达为rjyr0，Fb = P(r)；而若尸)为地-flMsd一履y = Cx式中，= HT 。定义/维控

11、制输出0 H式(4)的状态空间形式为x = A x + Bww式中，X为勿维状态向量(P = 2+ )； 4*Z = Cx +5%(10)式中，c为相应恰当维数的矩阵。Z可根据控制目标的需要而选择为结构 位移、速度或加速度响应，并可通过权重矩 阵定义各响应间的相对值，如外激励输入，分别表示为:为系统矩阵；8卬,为外激励影响矩阵；w为z=r r2jx7 z1J1 o2基于H2性能的梯度优化法采用多个TMD对结构多阶模态振动减 振时，简化的设计可通过经典的单TMD参 数优化方法实现。经典的单TMD参数优化 采用动力放大系数作为性能目标函数；假设TMD的安装对结构动力性能影响较小或可被忽略，而且所调

12、谐频率与邻近模态频率间为非密频状态;进而将结构简化为用模态坐 标表示的单自由度结构。根据TMD的安装 位置和所需控制的模态，依次优化各TMD的参数，从而实现多TMD的参数设计11*对稳态随机激励，系统的压范数反映了单位能量输入时输出响应的均方根值，并 成为能够衡量结构响应程度的指标。以H2范数为目标函数，可通过线性矩阵不等式或梯度优化法实现多个TMD的参数优化，其中Zuo采用梯度优化法实现的针对单自由度主结构减振的MTMD的参数优化，提 高了参数较多时的优化效率，为本文所借 鉴。本文进一步发展，实现针对多阶模态减振的分布式TMD参数优化，并进行相关的 影响因素和减振性能分析。为建立田性能目标，

13、将外激励输入汐 假定为单位白噪声，即外激励输入”的功率 谱密度二lo若定义T (为外激励输入叫到控制输出Z的传递矩阵，则系统的H2范数(顶吼为控制输出z的均方根值，即1(加 1 ; =limH : EyzH8(11)式中，E 为括号中量值的期望；tr 为括号中矩阵的迹；上标H为复共辄转置。H2范数可通过以下求解过程获得：考虑静力反馈输入后，式(7)和式(10)可表示为z = C ; x + B (13)x = Acx + Bww(12)式中，Ac=A BuFcC ,C： =C +比用。忽略外激励对控制输出向量z的影响，即8： = 0,或通过变换取zw ,则式(13)可计算为RA=tr 观 K8. =J(弓)14)式中，,即为H2性能目标，是待求参数矩 阵6/的函数;K为对称矩阵(可观性格拉 姆矩阵)，通过Lyapunov方程求解电 +=0(15)由此，分布式TMD的参数优化就变成 使得式(14)值最小，且满足约束方程(15)的旦值。为便于优化计算，需将其转换为 无约束优化问题。为此，引入拉各朗日乘子 矩阵乙(对称矩阵)，并定义等价的目标函数得 (Fd, K, L)=叭 Bj KBw+