初中几何全等三角形常见辅助线作法.docx

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1、全等三角形常见辅助线作法【例1】.已知：如图6, 4BCE、ACO分别是以8E、为斜边的直角三角形，且= ACDE是等边三角形.求证： A3c是等边三角形.【例 2】、如图，已知 BCAB, AD=DCo BD 平分NABC。求证：ZA+ZC=180.线段的数量关系:通过添加辅助线构造全等三角形转移线段到一个三角形中证明线段相等。1、倍长中线法【例.3如图，己知在ABC中，ZC = 90, ZB = 30, A。平分NB4C,交BC于点D.求证：BD = 2CD证明：延长DC到E,使得CE=CD,联结AEZC=90A AC CDVCD=CEAD=AEVZB=30 ZC=90ZBAC=60YAD

2、 平分NBACJ ZBAD=30A DB=DA ZADE=60VDB=DA：.BD=DE/. BD=2DC4BD笫3题/ ZADE=60 AD=AEA ADE为等边三角形，AD=DE【例4.】如图，。是AABC的边上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD, AE是AARD的中线。求证：AC = 2AEo证明：延长AE至IJ点F,使得EF=AE联结DF在4ABE和4FDE中BE=DEZAEB=ZFEDAE=FE/.ABE 也 AFDE (SAS)A AB=FD ZABE=ZFDEVAB=DCJ FD = DCZADC=ZABD+ZBADZADB = ZBAD，ZADC=ZABD+ZBD

3、AVZABE=ZFDE NADONADB+NFDE即 ZADC= ZADFffiAADF 和AADC 中AD=ADfnAAOF 中AE=AFZEA0=ZFA0、 AO = AOA AAOE 也AOF (ASA)A ZA0E=ZA0E0E二OFZAOE=60ZA0E+ZA0E+ZF0C=180ZF0C=60? ZA0E=ZC0DJ ZC0D=60在（；（）口和COFZDCO =ZFC0JCO二CONDOONFOC1COD ACOF.0D =OFV0E=0FOE=OD【例6】.如图，AABC中，NBAO90度，AB=AC, BD是NABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA

4、的延长线于F.求证：BD=2CE.B【小结】解题后的思考：1）对于角平分线的问题，常用两种辅助线;2）见中点即联想到中位线。.*.ZGAE=ZFAEZDAF+ZBAF=90ZGAB =ZFAD.ZGAF = 90.NEAF = 453、 旋转【例7】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求NEAF的度数.延长EB到点G,使得BG =BE先证明4ADFgAABE可得到 AF =AG Z DAF = ZGABVEF =BE +DFJ EF = BE+BG =GEA AGAE 丝 AFAE【例8】.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕,则NC8D的大小

5、为【例 9.如图，已知NABC二NDBE=90 , DB=BE, AB=BC. (1)求证：AD=CE, AD1CE (2)若4DBE 绕点 B旋转到AABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明4、截长补短法【例 12、如图，AABC中，AB=2AC, AD 平分N84C,且 AD=BD,求证：CD1ACCBD【例10】.如图在RtAABC中,AB=AC,NBAC=90 ,0为BC中点.（1）写出O点到4ABC三个顶点A、B、C的距离关系（不要求证明）（2）如果M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM,请判 断aO M N的形状，并证明你的结论.联结0A则A

6、OAC和OABD都为等腰直角三角形AOA=OB=OCANO g ABMO （ZNOA=ZOBM）可得 ON=OMZ NOA=ZMOB可得到 NNOM = NAOB=9()【例11如图，已知.8c为等边三角形，D、E、尸分别在边BC、C4、A8上，且也是等边三角形.（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的;（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程.【例13如图,ACBD, EA,EB分别平分NCAB, NDBA, CD过点E,求证;AB=AC+BD【例14如图，已知在ABC内，ZBAC = 60, NC = 40, P, Q分别在BC,

7、 CA上，并且AP, BQ分别是ZBAC,NA8C的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP证明：如图（1）,过。作0DBC交AB于D,NAD0=NABC= 180。-60 -40 =80。,又.NAQ0= NC+NQBO80。,NADONAQO,又 YNDAO=NQAO, 0A=A0,AAADOAAQO,AOD=OQ, AD=AQ,又 TOD BP,AZPBO=ZDOB,XVZPB0=ZDB0,.ZDBO=ZDOB,ABD=OD,又.NBPA=NC+NPAC=70 ,ZB0P=Z0BA+ZBA0=70 ,/. ZBOP=ZBPO,ABP=OB,AAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=

8、AQ+BQ。O【例 15.如图，在AABC 中，ZABC=60 , AD、CE 分别平分NBAC、ZACB,求证:AC=AE+CD.方法同【例5】【例 16已知：Z1 = Z2, CD=DE, EF/AB,求证：EF=AC【例17】如图，小钻。为等边三角形，点M,N分别在8cAe上，RBM=CN, AM与BN交于Q点、。求NAQN的度数。先证明 ZABM g ABCN (SAS)可得NCBN = ZBAMZAQN=ZABQ+ZBAQVZBAM=ZCBN ZAQN=ZABQ+ZCBN即 ZAQN=ZABC = 60作平行线:过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中

9、的“平移”或“翻转折叠”【例18：如图，AABC中，AB=AC, E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D,若 EB二CF。求证：DE=DFo证明：过E作EGAC交BC于G,则 NEGB = NACB,又 AB=AC, AZB=ZACB,. NB=NEGB,. ZEGD=ZDCF,AEB=EG=CF, ZEDB=ZCDF, DGE四 DCF,联结BD证明：TCF平分NBCDAZBCF=ZDCF在4BCF和4DCF中BC=CD ZBCF=ZDCFCF=CFAABCF g ADCF (SAS)ABF=DF(2) VAD/7BCAZADB=ZCBDBC = DCZCBD=ZCDBADA

10、DE=DFo【例19己知：如图，在四边形ABCD中，AD/7BC, BC = DC, CF平分/BCD, DFAB, BF的延长线交DC 于点 E. 求证：(1) BFCg/DFC； (2) AD = DE.AZADB=ZCDBVDF/7AB/.ZABD=ZBDFBF=DFAZFDB=ZFBDAZABD=ZFBD在4ABD和AEBD中ZABD=ZEBDv BD=BD、ZADB=ZEDB/.ABD g AEBD (ASA):.AD = DE【课堂练习】1 .如图，已知AE平分NBAC, AE垂直于BE,且EDAC, ZBAE=36 ,那么NBED=2 .如图：BE1AC, CF1AB, BM=A

11、C, CN=ABO 求证：(1) AM=AN； (2) AMJ_AN。第27 (a)题图（b）中综合题:已知在ABC中，ZABC = 45 ,高AO所在的直线与高的所在的直线交于点尸，过点尸作户G3C,交直线AB于点G,联结。尸.（1）当ABC是锐角三角形时（如图a所示），求证：AD = FG + CD；（2）当NB4c是钝角时（如图b所示），写出线段A。、CD、FG三者之间的数量关系，不必写出证明过程,直接写结论； 当BE=FE, BD=4时,求FG的长.可知 4FDC和4AFG都为等腰直角三角形FD=DC AF =FG? AD= AF+FDAD=FG+DCABD和AAFG都为等腰直角三角形ADC g ABDFDC = FDFD=AF +ADCD=FD【总结】常见辅助线的作法有以下几种：1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”