抽象函数奇偶性对称性周期性和三角函数常用结论.docx

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1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值，特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于/(x)定义域内的每一个X,都存在非零常数7,使得/(x+T) = 7。)恒成立，则称函数/*)具有周期性，7叫做/(x)的一个周期，则ZT (&Z,Zw()也是/(

2、幻的周期，所有周期中的最小正数叫了(元)的最小正周期。分段函数的周期：设y = /(尢)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y = /(x),XEa,bT = h-ao把丁 = /(x)沿x轴平移KT = KS-)个单位即按向量。=(左7,0)平移，即得= /(x)在其他周期的图像:y = fx-kT),x kT+a,kT+h o/(x) xea,bf(x-kT)xekT + a,kT4-b2、奇偶函数:设 y = /(x)，x a,hx g -一司 U a,b若/(-x) = 一/(x),贝I称y = /(x)为奇函数；若/(-x) = /(%)则称y = /5)为偶函数。分段函数的奇偶

3、性3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：点A(x, y)与3(2 - x,2b - y)关于点(。,)对称；点A(a -x,b- y)与倒。+ x力+ y)关于(。,)对称；函数y = f(x)2b -y = /(2q-x)关于点(,b)成中心对称；函数y = /(4-工)与/? + 丁 = /(4 + X)关于点(4,/?)成中心对称;函数/(羽丁)= 0与尸(24-工,20-丁)= 0关于点(4/)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为：Ar+3y+C = ()。 点A(羽y)与, V)= 85 244：+ C) _ 2/S(A：+ B、+ C)关于 A +B直线Ax + Bv + C

4、 =。成轴对称;函数y=/与y_2W+叱+C)=24”+叱+O)关于直线,4十A-+3Ax+3y+C = 0成轴对称。F(x, y) = 0与尸(尤-242叱+。,尸28(4：+/+。)=。关于直线A- +3，A，+8“Ax+By+C = O成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = /(x)图象本身的对称性(自身对称)若.f(x+a) = f(x+b),则 f(x)具有周期性;若 f(a + x) = f(b - x),则 f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、%+止f(b t) = y =2)图象关于直线x * + X)； S 一 咛对称推论L /(4 +

5、 x) = /(a-尢) y = .f(x)的图象关于直线x =。对称推论2、f (x) = f(2a - x) o y =/(x)的图象关于直线x =。对称推论3 f(-x) = f(2a + x) ) = /(x)的图象关于直线工=。对称2、f(a + x) + f(b-x) = 2c o y = /(x)的图象关于点(巴J,c)对称推论1、f(a + x) + f(a-x) = 2h =y=J(x)的图象关于点(,份对称推论 2、/(x) + f(2a -x) = 2b y =/(x)的图象关于点(a,。)对称推论 3、f(-x) + f(2a + x) = 2Z? oy = /(x)的

6、图象关于点(a,6)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y = /(x)与y = /(-x)图象关于Y轴对称2、奇函数y=/(x)与y = -/(-外图象关于原点对称函数3、函数y = f(x)与y =-/图象关于X轴对称4、互为反函数y = /(x)与函数y =.尸(x)图象关于直线y = x对称h ci5.函数y = f(a + x)与y = f(Jb - x)图象关于直线x =对称推论1:函数y = f(a + x)与y = f(a - x)图象关于直线x = 0对称推论2:函数y = /(x)与y = f(2a - x)图象关于直

7、线x = a对称推论3:函数y = f(-x)与y = f(2a + x)图象关于直线x = -a对称(三)抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y = f(x)关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a+x) =f(ax) (2) f(2ax) =f(x) (3) f(2a+x) =f(x)性质2若函数y = f(x)关于点(a, 0)中心对称，则以下三个式子成立且等价:(1) f(a+x) = f(ax) (2) f(2ax) = f(x) (3) f(2a+x) =f(x)易知，y = f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1 (或2)当a=0时的特例。

8、2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一变量X,均有fg( x)=fg(x),则复数函数y = f g(x)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有fg(x)=fg(x),则复合函数y = f g(x)为奇函数。说明：(1)复数函数fg(x)为偶函数，则fg(x)=fg(x)而不是fg(x)=fg(x),复合函数y=f g(x)为奇函数，则f g(x)=-fg(x)而不是fg(x)= fg(x)o(2)两个特例：y=f (x+a)为偶函数，则 f (x+a) =f (x+a) ； y=f (x+a)为奇函数，则 f (x+a) =f (a+x)(3) y=f(x+a)为偶(或

9、奇)函数，等价于单层函数y=f(x)关于直线=a轴对称(或关于点(a, 0)中心对称)3、复合函数的对称性性质3复合函数y = f(a+x)与y = f(b x)关于直线*= (b-a) /2轴对称性质4、复合函数y = f 6+*)与y=f (b x)关于点(ba) /2, 0)中心对称推论1、复合函数y = f (a+x)与y = f (ax)关于y轴轴对称推论2、复合函数y = f (a+x)与y=f (ax)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y = f (x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且2 a是它的一个周期。f(

10、x+a) =f(xa)f(x+a) = f(x) f (x + a) =l/f (x) (4)f (x + a) = 1/f (x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y = f(x)同时关于直线x = a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=2|a-b|性质6、若函数y = f (x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T = 2|a-b|性质7、若函数y = f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T = 4|ab|6、函数对称性的应用(1)若旷=/(x)关于点(九%)对称，贝

11、！Jx + x = 2/z,y + y = 2，即/(x) + /(V ) = /(x) + f(2h -x) = 2k/(再)+ f(x2) + + f(xn) + f(2h -xH) + fQh-x) + + f(2h-x1) = 2nk(2)例题1、/(x)= 优 L 关于点(LL 对称：f(x) + /(l x) = l；a x +yla2 24r _if(x) = - 2x +1 关于(0,1)对称：/(x) + f(-x) = 2/(x) = (awRxwO)关于对称：f (x) + /(-) = 1x +12 2X2、奇函数的图像关于原点(0, 0)对称：/(x) + /(-%)

12、 = 0 o3、若f(x) = f(2a- x)或-x) = f(a + x),贝8=/(x)的图像关于直线x =。对称。设/。) = 0有个不同的实数根，则玉+工2 +%=九1 +(2。一用)+ +(2。一)+乙 + (2a -xfl) = na.I I(当72 = 2k +1 时，必有x = 2a X,=玉=a)(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、)(xT) = /(x)( TwO) oy = /(x)的周期为T, ZT(ZcZ)也是函数的周期2、/(X + 6Z)= /(% + /?)O y = /(工)的周期为丁 = h a3、/(x + )= -/(x)0 = /1

13、)的周期为7 = 2。4、- 、 1/(x + Q)= 77f(x)0 = /(不)的周期为7 = 2。5、/ 、 1/(x +(7)= -/(x) y = /(x)的周期为7 = 26、 1-7U/(x + Q)= 177T1 + /(x)oy = /(x)的周期为丁 = 3a7、，/ 、 1f(xa) = f(x) +1=)，=/3的周期为丁 = 28、/(x + t/) = 1 + /(A) uy=八九)的周期为 T = 4a1-fM9、f(x + 2a) = f(x + a)-f(x)= y = /(x)的周期为丁 = 6a10、若 p0厅(px) = 则丁 = 11、y = /(%)

14、有两条对称轴 x和 x = S。)= y = /(x)周期 7 = 2(b - a)推论：偶函数 y = /(x)满足 f(a + x) = f(a-x) y = /(x)周期T = 2a12、y = /(x)有两个对称中心(。,0)和3,0) Sq) oy = /(x)周期T = 2S-)推论：奇函数 y = /(x)满足/(4 + x) = /(a-x) y = f(x)周期 T = 4。13、y = /(x)有一条对称轴x = q和一个对称中心S,0) Sq)o /(x)的7 = 43 a)三角函数公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k Ji 4- a ) =sin a (kGZ) cos (2k Ji + a ) =cos a (kZ)tan (2k 冗 + a ) =tan a (k WZ)cot (2k n + a ) =cot a (kZ)公式二：设a为任意角，n+ a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin (n + a ) = sin a cos (五 + a ) = -cos a tan (冗 + a ) =tan a cot (冗 + a ) =cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin (