微专题十.docx

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1、微专题十立体几何中探索性问题的研究追根溯源高考中的立体几何探索性试题，我们一般可以采用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，这类试题的一般设问方式是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由”.解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设.例题如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCO中，NABC=60。，PA=AC=a,PB=PD=巾a,点E在PD上,且PE：ED=2：1.(1)证明：朋_1平面ABC(2)求以AC为棱，EAC与OAC为面的

2、二面角的大小；(3)问：在棱PC上是否存在一点尸，使BF平面AEC证明你的结论.审题方法尸是线段Pe上的点，一般可设方=2正，求出力的值，点P是已知的，即可求出点F.解题思路(1)证明的是线面垂直，只要努力去找直线与平面内的两条相交直线垂直即可：(2)按找二面角的方法进行：(3)通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，利用坐标关系和向量的相等就可以解决了.(1)证明因为底面ABCo是菱形，ZABC=60,所以A8=AO=AC=,在出B中，由2+AB2=22=PB2,知附_1A8,同理以_1AO,所以应_1平面ABCD解如图1所示，作EG勿交AO于G,由RIJ_平面48CO,知EG_1平面A

3、BC。，作GH_14C于H,连接EH,则EH_1AC,则NE”G为所求二面角的平面角，设为。.又PE：ED=2：1,则EG=WmAG=a,GH=AGsin60o=t从而tan-EG_小GH3,所以8=30。.(3)解以A为坐标原点，直线44尸分别为y轴，Z轴，过A点垂直平面两。的直线为X轴，建立空间直角坐标系，如图2所示.由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0,0,0),图2所以恁=(0,多，.)，AP=(0,0,4),8P=(一坐4,5,a).设产是棱PC上的点，且赤=2元一苏)，其中021,则BF=BP+PF令脐=为熊+/I2AE,得:Zaa+1)=i+予2,6/(I-Q=?解得4=；,Z

4、1=-A11_O22=5，即/1=5时，泳=一刃。+推，即尸是尸C的中点时，BFtACt最共面.又BF不在平面AEC内，所以当尸是棱PC的中点时，8/平面AEc例题追根溯源如图，在底面是菱形的四棱锥PA8C。中，NABC=60。，PA=AC=a,PB=PD=小。，点E在PD上,且尸E：EO=2：iqN*).(1)证明：以_1_平面ABC。；(2)在棱PC上是否存在一点尸，使BF平面AEC证明你的结论.审题方法尸是线段PC上的点，一般可设两=病仁求出，的值，点P是已知的，即可求出点、F.解题思路通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，令所求直线对应的向量用该平面内的两个不共线向量表示即可.(

5、1)证明因为底面ABCO是菱形，ZABC=60,所以AB=AD=AC=,在以B中，由山?+AB2=Ia2=PB2t知附_1A8,同理必_1AO,所以而_1平面ABCD解方法一以A为坐标原点，直线AO,AP分别为)，轴，Z轴，过A点垂直平面雨。的直线为X轴，建立空间直角坐标系，由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0,0,0),8(坐a,一%,O),坐a,d,),D(O,0),P(0,0,),(0,占4,所以AE=(。，,+Ia%+),AP=(O,O,),AC=-atJ，)，元=(乎m2,一)，f3I、BP=I2*2rt,a设尸是棱尸C上的点，且际=R=Ggaf,5人一m)，其中OVf1,则济=丽+两令脐=九应：+八花，得2解得I=-，2t1,22=(2+1)(102一即际=、一正，故泳可以由4&和恁线性表示，并且8川平面AEC所以BF平面AEC审题方法作出适当的辅助线，利用中位线定理找到平行关系.解题思路从E点出发，在线段PE上找到点M,使得E成为MQ的中点，连接OE,构造03M的中位线，下面只需作M尸EC交PC于点尸，这样点尸就被找到了.方法二如图3,在PE上取一点使得ME=E。，过点M作M产EC交Pe于点尸，连接BD交AC于点、0,连接EaBM.图3在AOBM中，E,。分别是。M,08的中点，所以EOBM,即平面AEC.又因为M尸平面AEC,所以平面产平面AEC,PF2-1PC