极点极线.docx

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1、练1.已知椭圆+b0）的离心率为近，椭圆与x轴交于两点4,0）、CCb2过点C的直线1与椭圆交于另一点D,并与X轴交于点线AC与直线BD交于点Q.（II）当点P异于点B时，求证：丽丽为定值.（I）当直线I过椭圆右焦点时，求线段CD的长：例3（2023全国1文21、理20）已知A6分别为椭圆:二+f=（）的左、右顶点，G为E的上a顶点，AGGB=S.P为直线r=6上的动点，FA与E的另一交点为C,内与E的另一交点为O.（1）求E的方程：（2）证明：直线CD过定点.8.10极点与极线背景下的定点定值问题考什么四层1.【必备知识】一、极点极线原理以过定点或角相等形式呈现,此类题最简单考查形式,考查频

2、率较高.(I)设AB是圆锥曲线C的弦，点A关于X轴的对称点A(点4,8不重合)，且AB过点P”，。).(1)若曲线C为椭圆W+=1(80),则直线AB过定点0，0)：a-bf(2)若曲线C为抛物线产=20),则直线46过定点Q(T，0).-2(II)(1)若曲线C为椭圆工+与=1(方0),点P(/，0)且直线AB过定点a-bQ（。，0）.则/阱Q=ZAPQ(2)若曲线。为抛物线y=2pr(p0),点P,0)直线AB过定点Q(T,0),则/BPQ=NAPQ.二、已知曲线E：与与=1(0,b0)的左右顶点为4(n,0),倒，0),点。(切，)ab-5iO,mwa)不在曲线E上，QA,QB分别交E于

3、C,D,直线CD交X轴于点P,则有丽丽=M.注：曲线E可以表示焦点在X轴或y轴上的椭圆，也可表示双曲线，结论一致.二、怎么考【基础题组】【例1】(2023新课标1卷20)在直角坐标系sy中，曲线C:)，=工与直4线y=k+(0)交与M.N两点，(I)当&=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(II)轴上是否存在点P,使得当2变动时，总有NOPM=NOPN?说明理由.2.在平面直角坐标系中，己知椭圆C：+y2=k如图所示，斜率为k(kX)且过点0)的直线13交椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(3,(2)若F在射线OE上，且IOG=0|。尸,求

4、证：点F在定直线上.自助餐1(2008福建文)如图，椭圆C:鼻+与=1(ab0)的一个焦点为F(1,0),且过点(2,0).(I)求椭圆C的方程；(II)若AB为垂直于X轴的动弦，直线1：x=4与X轴交于点N,直线AF与BN交于点M.(i)求证：点M恒在椭圆C上；(ii)求aAMN面积的最大值.1+Av,2T)(WT)+MD(nt)-(1)(1)弘2-24Sk2(+t)=2g-M1+，)(M+xJ+2K=k3+4/一3+4/+X1X2-，(M+/)+产4-128k，“产3+4-3+4/+/82-24-82(1+)+2(3+42)6k(t-4)-42-12-82r+(3+42)-4(/-1)22

5、+3(Z2-4),所以，要使对任意实数上，%a+2qb为定值，则只有/=4,此时，+=0.当直线/与X轴垂直时，若r=4,A、B关于X轴对称，此时。4、QB也关于“轴对称，此时也有1+=O.故在X轴上存在点Q(4,0),使得直线QA与直线QB的斜率的和为定值O.例2解：(I)由已知得。=IW=瘠，解得=2,所以椭圆方程为f.04+y=I椭圆的右焦点为(6,0),此时直线/的方程为y=-+1,代入椭圆方程得7a-2-83=O,解得F=O,占=半，代入直线/的方程得y1=1y2=,所以Q(苧,一；)，故ICD=(-0)2+(-1)2=y.(II)当直线/与戈轴垂直时与题意不符.设直线I的方程为y=

6、kx+Kk0且&3).代入椭圆方程得(4公+1)+8Jtv=0.解得=0,心=Y-,代入直线/的方程得X=I.%=与竺，4k+14K+1所以D点的坐标为(Y1,1i).4+14+1又直线AC的方程为;+y=1,又直线B。的方程为)，=；W(X+2),联立得8.10极点与极线背景下的定点定值问题1解析：(I)由题设可得N或M(-20,a),N(2yfa,a).)，=J工，故),=工在=2缶处的到数值为C在(20)处的切线方程为24y-a=Va(x-2/)，即Jax-y-a=0.故y=1在=-2J1a处的到数值为-a，C在4(2J1a,。)处的切线方程为)，一=一而(1+2&),即GX+y+=0故

7、所求切线方程为ax-y-=O或Jax+y+=O.(I1)存在符合题意的点，证明如下：设P(0,b)为符合题意得点，M(xi,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为K,七将y=x+代入C得方程整理得2-4Ax-4=0xi+x2=4k,x1x2=-4a.8+k,：ybI%一方2gx2+3-6)(4+/)J(+J)X1x2当人=-时，有K+%=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故/OPM=/OPN,所以P(O,-)符合题意.练1【解析】(1)由题意，解得“一广，所以椭圆C的方程为工+=1.b=J343【小问2详解】解：若存在满足条件的点Qa0).当直线/的斜率存在时，设直线

8、/的方程是产=A(X-1),y=(x-1)联立0,可得/+10,设4(%,)、B(2,%)，则$+勺=言/，(x-4)-(n-4)y=0.设M(xo,yo),则有n(xo-1)-(n-1),o=O,(KO4)+(4)和=0,由，得15w-8=q所以点m恒在椭圆G2m-52m-5上.由于红+江=(5*8厂434(2m-5)(2w-5)-(5，-8)3n(5，8)+12/广=+=4(2w-5)2(2/77-5)24(2w-5)2_(5zz-8)2+36-9n24(2n-5)26设A(XIm),M(也，冲)，则有：丫】+丫2=玄工,弘必(ii)设AM的方程为户.寸+1,代入二+三-=1得43(3r+

9、4)y2+6(y-9=0.-93r2+4M-X1=J(M+力-一4%)，2433r2+3a,、,=；.令3户+4=(N4),贝IJ3厂+4M-XI=4/3.夕7=4闻一夕2+:=4百F因为N4,00).A(x,y),B5.yt).(yJk(jr+1),联立WJf1F(3*+1x,+6x+3*2-3=0.1+=1由题意如A0恒成立.由韦达定理得+j一；.所以y+3Fj*由于E为我段AB的中点.因此j=-J(叩=34工1此时S=言=一4.所以OE所在直或方程为J=一本,又由题设知IX-3tm),x=-3得/=、，1分2分3分4分5分6分即，氏=1G(OJ)aAG=(a,1),而=(,-1)而.丽=

10、8,Y=%.椭圆方程为：-+/=1(2)证明：设P(6,%),则直线AP的方程为:尸品(x+3)，即:所以点。的坐标为(飞+j7,同理可得：点)的坐标为(J)-3INO-+9y0+9)VV+1整理得:4y02%4y0(3、故直线CD过定点(；,0设M(X1,y)N(x2,%)二+整理得(+9)V+2g+/-9=09+yX=my+1(y02+9)6x+9-81=0,解得：=3或#=TyT+-2%V+1；法2MN.x=my+t,tE(-3,3),9-22yy227M+3)(x2+3)=09(x2-3)xi+3=,=3或=_?(舍)自助餐1(I)由题设=2,E,从而b2=a2-c2=3,所以椭圆由知OE所在J1战的方程为y=一为.将其代入棚圈（的方程,并由心0解祥G（一Tf）8分又E（-瑞,而）,9分（3-）：KXiP=IOEII四得:五一SHFT售声一一一3.11分-3F+T因此.焉F在定宽畿1=一3上.12分