王式安考研概率讲义.docx

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1、概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯）独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。1随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果样本点所有样本点全体样本空间。三、随机事件样本空间的子集随机事件ABC样本点基本事件，随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件。出现发生，。出现如果组成事件A的基本事件出现A发生，A出现必然事

2、件不可能事件2事件间的关系与运算-事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三事件的文字叙述与符号表示例2从一批产品中每次一件抽取三次，用Ag=123)表示事件:(1)P()OP(C)=IP(AU4UU4U)=P(A)+P(A2)+P(A)+A%=0,i/二性质(1)p(0)=o(2)尸(AUAUUAU)=P(A)+P(4)+P(A)+AA=0,i/(3) P(K)=I-P(A)(4) AUB,P(A)P(B)(5)op(A)i三条件概率与事件独立性P(A)O,P(B=逊,事件A发生条件

3、下事件8发生的条件概率；P(A)(5) P(AB)=P(A)P(B),事件AB独立AB独立万独立=Zb独立m至万独立；P(A)0时1AB独立=P(8A)=P(B)；(6) P(A,A)=P(A)P(AjP(AJ1Z2.0,P(AB)=P(A)P(BA)P(A4.AQ0时PA1.An)=P(Ai)P(A21A)A,AA)P(Af1AA-A-)(4)全概率公式：4,%.,纥是完全事件组且P(g)()，i=,(5)贝叶斯公式：综层,乩是完全事件组，P(A)0,P(0)0,i=1,.,4古典型概率和伯努利概率-古典型概率二几何型概率三独立重复试验独立各试验间事件独立，重复同一事件在各试验中概率不变四伯

4、努利试验试验只有两个结果AA伯努利试验重伯努利试验二项概率公式C：PTk=O,1,P(A)=P5典型例题分析例1.设A,8为两事件，且满足条件AB=Nx!J1JP(AB)=.例2.4,8为任意两事件则事件(A-8)U(B-C)等于事件例3随机事件AB，满足和P(AUB)=I则有例4设OV篇;V1且P(3A)+P(同N)=I则必有例5(06)设A、B为随机事件，且P(B)0P(AB)=1则必有例6试证对任意两个事件A与8，如果P(A)0，则有例7有两个盒子，第一盒中装有2个红球1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球.问：(1) 这个球是红球的概率；(2

5、) 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例8假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零(不放回)试求：(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率小例9袋中装有0个白球和4个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：(1) 从袋中取出的第Z个球是白球(1心+0(2) 从袋中取出个球中，恰含个白球和6个黑球(aa,b)例10,随机地向半圆(x,y)Oy0是常数)内掷一点，则原点和该点的连

6、线与X轴的夹角小于工的概率为。4例11在伯努利试验中，每次试验成功的概率为P，求在第次成功之前恰失败了加次的概率。例12四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为。例13已知ARC三事件中A与B相互独立P(C)=O，则无反心三事件(A)相互独立(B)两两独立，但不一定相互独例1410台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为例15甲袋中有2个白球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率例16-10件产品中含有4件次品今从中任取

7、两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。例17两盒火柴各N根，随机抽用，每次一根求当一盒用完时，另一盒还有R根的概率。（RN）例18（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，2，X中任取一个数记为y，则p（y=2）=。第二讲随机变量及其概率分布考试要求：理解：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握：分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布及它们的应用会计算：与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件1随机变量

8、及其分布函数-随机变量样本空间上的实值函数X=X(G)，。常用X,RZ表示二随机变量的分布函数对于任意实数X,记函数77(x)=P(Xx)，-ooxIimF(x)=I记为F(y)=1。X4-30(2)F(X)是单调非减,即芭V-2时F(x1)F(X2)(3)F(X)是右连续，BDF(x+0)=F()(4)对任意玉%，有P(X1VX%)=尸()-Ra)(5)对任意X，P(X=X)=F(X)-F(X-O)性质(1)一(3)是F*)成为分布函数的充要条件。例设随机变量X的分布函数为，其中A是常数，求常数A及P(1X2)。2离散型随机变量和连续型随机变量-离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可

9、数无穷多个。二离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的可能取值是冷W,.,%.称P(X=Xjt)=&,Z=1,2,为X的概率分布或分布律分布律性质：(1)PkNO.,=1,2,.(2)ZP11k分布律也可表示为:产.XkPPiP2Pk三离散型随机变量分布函数例1求F(X)四连续型随机变量及其概率密度设X的分布函数F(幻，如存在非负可积函数/(x)，有称X为连续型随机变量，/*)为概率密度。概率密度性质：(1)O;(2)JWt=;(3)X1X2P(XIVXvx2)=Pf(t)dt；(4)/(幻的连续点处有F,(x)=/(x)。例已知/*)和/(x)+f(x)均为概率密度则工必满足3常用分布/

10、C“、八一XO1一(01)分布opPi-pP二.二项分布P(X=A)=R=O,1,.,.Op0例设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为1，则这段时间内至少有两辆车通过的概率为。e五均匀分布f(x)=.码aXb0其他例设随机变量J在(1,6)上服从均匀分布，则方程/+0+1=()有实根的概率是。六指数分布f(x)=exAo0x0七正态分布-OOVxV+XN(O,1)标准正态分布如果XN(,，)，则(1)(-x)=(x)(2)(-)=1-()(3)(4)P(X)=2()-1X-N(O9V)例XN(y1)且(3)=0.9987，贝IJp(IX“v3b)=4随机变量X的

11、函数y=g(X)的分布-离散型随机变量的函数分布设X的分布律P(X=S)=Pk,攵=1,2,.则y=g(X)的分布律尸(y=g)=PA,r=1,2,.(如果g“)相同值，取相应概率之和为丫取该值概率)二连续型随机变量的函数分布1公式法：X的密度yx(x),y=g)单调导数不为零可导，Hy)是其反函数则y=g(x)的密度为其中()是函数g(x)在X可能取值的区间上值域。2定义法：先求然后f(y)=Fy)。5典型例题分析b例1设随机变量的分布函数F(X)=+而了”Cx0求.,c的值。例2设随机变量X的分布律为P(X=A)=C1/,/:=1,2,.,Ok试确定常数C的值。例3汽车沿街行驶需要过三个信

12、号灯路口，各信号灯相互独立且红绿显示时间相等以X表示汽车所遇红灯个数，求X的分布及分布函数。例4(04)设随机变量X服从正态分布N(M)，对给定的(0ua)=a,若P(IX1Vx)=,则X等于例5在区间&句上任意投掷一点，X为这点坐标，设该点落在a切中任意小区间的概率与这小区间长度成正比，求X的概率密度。例6XU2,5，对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。例7(06)1殳随机变量*服从正态分布(/1，52)，丫服从正态分布;7(2，。22)且PX-阂P,-闻1，则必有例8X的密度(x)=A+x(ox-w)试求常数A。例9设X服从参数为2的指数分布证明蹒机变量y=-2X服从U(O/)。例10已知X的密度为，(-0)且一求：(1)X的概率密度；(2)P(IVXV5)。第三讲多维随机变量及其概率分布考试要求理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布，