二次根式的运算知识点及经典试题讲义.docx

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1、二次根式的运算学问点和经典试题学问点一：二次根式的乘法法则：a,a=友(a090),即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进展运算时，肯定要留意：公式中a、b都必需是非负数；(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能化简必需化简，如而=4.学问点二、积的算术平方根的性质：，石=右扬(O,FO),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这特性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式,都必需满意40,60才能用此式进展计算或化简，假如不满意这个条件，等式右边就没有意义，等

2、式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有力形式的。移到根号外面.(3)作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简(4)步骤：对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即：()2()利用积的算术平方根的性质，石=&扬(0,yfbO)；利用=H=ft；?。)(一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值)即被开方数中的一些因式移到根号外;(5)被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简学问点三、二次根式的除法法则：*=(0,b0),即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进展二次根式的除法运算时，对于公式中被开方

3、数a、b的取值范围应特殊留意，其中0,韭0,因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最终结果中分母不能带根号.学问点四、商的算术平方根的性质J1=会(a09b0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根.要点诠释：(1)利用：运用次性质也可以进展二次根式的化简，运用时仍要留意符号问题.对于公式中被开方数a、b的取值范围应特殊留意,其中a09b09因为b在分母上，故b不能为0.(2)步骤:利用商的算术平方根的性质:2G。，八。)分别对十,逐利用积的算术平方根的性质化简分母不能有根号，假如分母有根号要分母有

4、理化，即(右)2(00)(3)被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简学问点五：最简二次根式1定义：当二次根式满意以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最终的结果必需化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2,即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的带分数或肯定值大于1的数化成假分数，把肯定值小于1的小数化成分数；(2)被开方

5、数是多项式的要进展因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，实行不同的变形方法.事实上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.学问点六、同类二次根式1定义：几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数一样，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释:(1)推断几个二次根式是否是同类二次根式，必需先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否一样；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只

6、及被开方数和根指数有关，而及根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法及整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并学问点七、二次根式的加减信二次根式的加减本质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进展合并,对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进展二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律和去括号、添括号法则仍旧适用.二次根式加减运算的步骤：(

7、1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式;(2)推断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.学问点八、二次根式的混合运算力二次根式的混合运算是对二次根式的乘除和加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算依次及实数中的运算依次一样，先乘方，后乘除，最终算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍旧适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式.规律方法指导二次根式的运算，主要探讨二次根式的乘除和加减.二次根式的乘除，

8、只需将被开方数进展乘除，其根据是：G而.0).亨=Agzai0).二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算”(3*历；版(2)RX的工二二4”，H也.1、计算(I)EXQ;E;解：寸:，/=/?+;=;(3)79T2793=9;122、计算：有；酒专=b0)思路点拨：干脆利用4V便可干脆得出答案.8=41212g.FF解：J=k=J，=2;M-1=J二=、/2=2i-;&的1=即=4=2;(4)赛我2圾.3、化简(1)9T6.(2)716x81；(3)1100.(

9、4)79V;师思路点拨：利用.二石即之，B)干脆化简即可.解：(IN9x3=、JJ=3X4=12;寸了I=Jir/1=4X9=36;成二Im=JjX、/TH1=910=90;(4) J夕.耳X击夕V?XJJ=3xy(5) J54=9(=：Vr=3R.举一反三【变式1】推断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:(IND(-9)=pA49.X=4i=8币.解：不正确.改正：J(Y)(T=5/9=5/49=23=6;(2)不正确改正:J252525=/25J112J16x7=4币.4、化简:举一反三fe-x_9-x卜FX+4【变式1】已知0一6一了？，且X为偶数，求(1+)Xj的值.思路点拨：式子Y

10、b=而，只有a0,b0时才能成立.因此得到9-x0且x-60,即6vx9,又因为X为偶数，所以x=89-x0x9解：由题意得60,即卜6.6vx9,Tx为偶数，.x=8/(I)(I)卜-4卢-4，原式=(1+x)N+D(x-D=(1+x)V+1=(I+x)J(X+D=J(1+)(-4)当x=8时，原式的值=即=6，3。+)(加一力)Xa33aia.(2)原式=-2Wmjtnw-2V2-6类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(Di2;(2)；(3)&；(4)?+i;(5)32;(ai+6a2+9a.(7)2.思路点拨：推断一个二次根式是不是最简二次

11、根式，就看它是否满意最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;不满意其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.皂解：7?Ti和2都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：质的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；F和E的被开方数中都含有分母；反和炉的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的推断，肯定要把握其本质，既要留意其中的“似是而非”,还要留意其中的“似非而是”，特殊象后这样的式子，带有很大的隐藏性，更应特别当心.7、把下列各式化成最简二次根式.金风5；屈；(4)45(0).PZ,3思路点拨：把被开方数分解因数

12、或分解因式，再利用积的算术平方根的性质和=()进展化简，2P3_p-_6_6解：24=2j6？6=26；,V停加3；屈=%林邛；(4)45a2=532j3V而=%廊；眨=心h=恒=2折Y3U33F3”类型三、同类二次根式8、假如两个最简二次根式寸+尤和J2-b+6是同类二次根式,那么a、b的值是()A.a=2,b=1B.a=1,b=2C.a=1,b=TD.a=1,b=1思路点拨：根据同类二次根式的以别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数一样解：根据题意，得3-h=24+3=2-A+6解之，得1=1,故选D.总结升华：同类二次根式必需满意两个条件：(1)根指数是2;(2)被开方数一样；由此可以

13、得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.1口举一反三【变式1】下列根式中，可以及/18合并的是()A.27B.JC.D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比拟它们的被开方数是否一样，假如一样，就能进展合并，反之，则不能合并.解：加=蚯匹烟.邛,y=i,g=*，病(合并,故选B.总结升华：同类二次根式的推断，关键是可以娴熟准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式痂线及根式屈K访是同类二次根式，求a、b的值.思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数一样;事实上，根式向+6.不是最简二次根式,因此把2ab2-t3+6*化简成b&

14、T+6,才由同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.解：首先把根式幻炉一户+6化为最简二次根式:2fc3-65+6623(2-16).b.J4a3h2-62+4h=6由题意得Zaf=2,3-i=2,a=1,b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算而+他(2)思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将一样的最简二次根式进展合并.解：丸+而=2及+3区(2+3)=5及Tf菽-疯1=44-84=(4-8)=-4G总结升华：肯定要留意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3748.9+3/12；(、场+而)+卜,0-、万)；(3产科会E巴.回.解：3a-9J+3品=12君-3A+6右=(12-3+6)A=15、万；(2)(8+720)+(V12-5)A8+20+12-54+2+