二次根式知识点总结和习题教师用.docx

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1、二次根式的学问点汇总学问点一：二次根式的概念形如石（a0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必需留意：因为负数没有平方根，所以。NO是A为二次根式的前提条件，如瓦4rA,g（x1）等是二次根式，而C,f-7等都不是二次根式。学问点二：取值范围1 .二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a三。时，石有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2 .二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当aO)-(O)（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律和结合律，乘法对加法的安排律以和多项式的乘

2、法公式，都适用于二次根式的运算.【例题精选】二次根式有意义的条件：例1：求下列各式有意义的全部上的取值范围。解：（1）要使J3-2X有意义,必需3-2xO,由3-2xO得x,.当x5时，式子ViW在实数范围内有意义。（2）要使G有意义，x+1为随意实数均可，当X取随意实数时Gi均有意义。（3）要使普有意义，必需aX-1x2,但X=-2不在XN-I的范围内。.当x-1且2时，式子卢斗在实数范围内有意义。国一2小练习：(1)当X是多少时，二T在实数范围内有意义？(2)当X是多少时，1在实数范围内有意义？(3)当X是多少时，叵疝+2在实数范围内有意义？X(4)当时，而I+石有意义。2 .使式子J-(

3、x-5/有意义的未知数X有()个.A.OB.1C.2D.多数3 .已知V=2-x+x-2+5,求二的值.y4 .若+有意义，贝IJGr=.5 .若G+J7有意义，则机的取值范围是o最简二次根式例2:把下列各根式化为最简二次根式：分析：根据最简二次根式的概念进展化简，(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解：=16tz26ab=4ay6abaO,b)同类根式：例3:推断下列各组根式是否是同类根式：分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数一样，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以推断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二

4、次根式。解：(1)V-75=-257=-57：分母有理化：例4:把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如行及,石+百与石-5均为有理化因式。解:求值：例5:计算：分析：快速、精确地进展二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必需驾驭，要特殊留意运算依次和有意识的运用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解：(1)原式=(32V2+V3V2)X-=化简：例6:化简：分析：应留意(1)式40,b09(2)a09所以a=(&)2,b=1一,。一劭可看作(右丫_网2可利用

5、乘法公式来进展化简，使运算变得简洁。解：原式=回苧牛竺1(G2时Ja-2?，例7:化简练习：(I)V-St3(50)(2)6-2-V(6-3)2解：(1)V-st30化简求值：例8:已知：4=；二,b=2后求：加+”的值。分析：假如把a,b的值干脆代入计算标，的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到i+VI与百-应互为有理化因子可计算+4ab9然后将求值式子化为a+6与%的形式。解：a+b=g+&+60=瓜a.b=1=12224小结：明显上面的解法特别简捷，在运算过程中我们必需留意寻求合理的运算途径，进步运算实力。类似的解法在很多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例9：在实数范围内因式

6、分解：22-4;【提示】先提取2,再用平方差公式.【答案】2(x+2)(x-2).【提示】先将A2看成整体，利用2+px+q=(x+a)(x+b)其中a+b=p,ab=q分解.再用平方差公式分解/一3.【答案】U2+1)(x3)(x-3).例10、综合应用:如图所示的RtAABC中，ZB=90o,点P从点B开场沿BA边以1厘米/秒的速度向点A挪动；同时，点Q也从点B开场沿BC边以2厘米/秒的速度向点C挪动.问:几秒后aPBQ的面积为35平方厘米？PQ的间隔是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)【专项训练】：一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、(a-1j2=。-1成立的

7、条件是：A.a1B.a1C.a12、把后化成最简二次根式，结果为：A.4B,巫C.见33993、下列根式中，最简二次根式为：A.47B.x2-4C.J|4、已知1,化简1-J产一2才+1得:A.2-2tB.2tC.2D.adtD.J(X+4)2D.O5、下列各式中，正确的是：A.(-7)2=-7B.(-O.7)2=0.7C.(-7)2=72D.(07)2=0.76、下列命题中假命题是:A.设x0,则J()2=-xC.设x0,则=x7、及26是同类根式的是：A.50B.328、下列各式中正确的是：A.2+3=5C.3ayx-4yfx=3a-4yxB.设xO,则=-1D.设xO,贝7?)=x2C.

8、18D.75B.2+3=23D.三、1、化简a2-4a+42、已知:1_1_2+3,2-3求：X2-5xy+y2【答案】：一、选择题:1、B2、C3、B4、D5、Ba4-a1、a-26、C7、D8、D9、C10、B二、计算：三、2、93、yS拓展训练一、分式，平方根，肯定值；1 .必=(6)2成立的条件是2 .当a时，=1;当a时，=-1oaa3 .若=a9则；若V?=-,则Q4 .把(x-1)口:根号外的因式移入根号内，结果为OVX-I5 .把3,根号外的因式移到根号内，结果为O6 .xy,那么化简y-x-J(x-丁尸为10.a+4b3a+b是同类二次根式,贝IJa=,b=I1求使历工产为实

9、数的实数”的值为一o二、根式，肯定值的和为0；1 .若(4一5)2+J(24+3)2=0,则2 .假如+k+=。求一2/的算术平方根。6 .在ABC中，a,b,C为三角形的三边，则、“一匕+靖2上一一母=7 .已知,=赤+1求代数式+2-、户4工2的值。2yyXX8 .假如y=M3+j3-2x+2,则2+y=o三、分式的有理化2+13-1CC1、已知X=由二I，产57,求2-V的值。9 .已知、=套,尸就,求下列各式的值；强+3四、整数局部及小数局部1.&的整数局部是,小数局部是4已知ui的整数局部为,小数局部为求力的值。五、根式，分式的倒数;111.已知x+1=4,求X-二的值。dribJ3.若2-芋x+1=0,求4+的值;六、转换完全平方公式；1.已知2+一4。-2匕+5=0,求4a+b3b+2ya的值3.已知X,y是实数，3x+4+y2-6y+9=0,若axy-3x=y,求a的值;5、已知Ox的值是6、已知-y=6xy=-9求一一盯+y的值